Сплайн (англ. spline - планка, рейка) - функция, область определения которой разбита на конечное число отрезков, на каждом из которых сплайн совпадает с некоторым алгебраическим полиномом. Максимальная степень из использованных полиномов называется степенью сплайна. Разность между степенью сплайна и получившейся гладкостью называется дефектом сплайна. Например, непрерывная ломаная есть сплайн степени 1 и дефекта 1.

Сплайны имеют многочисленные применения как в математической теории, так и в разнообразных вычислительных приложениях. В частности, сплайны двух переменных интенсивно используются для задания поверхностей в различных системах компьютерного моделирования.

Определение и история

Сплайном (spline) называли гибкую металлическую линейку — универсальное лекало^[1], которое использовали чертежники для того, чтобы гладко соединить отдельные точки на чертеже, то есть для графического исполнения интерполяции. Более того, кривая, описывающая деформацию гибкой линейки, зафиксированной в отдельных точках, является сплайном. Итак, имеется физическая модель сплайн-функции (или, наоборот, сплайн-функция является математической моделью гибкой линейки). Интуитивный подход к использованию кусочных функций в задачах аппроксимации встречался в математике в течение длительного времени. Но, как отмечает советский учёный Николай Корнейчук, вторжение сплайнов в теорию приближения произошло из-за задачи интерполяции, благодаря их хорошим вычислительным и аппроксимативным свойствам.

Начало развития теории интерполяции сплайнами и сам термин сплайн насчитывают с 1946 года из статьи Айзека Шонберга (англ. Isaac Jacob Schoenberg). Особенно интенсивное её развитие произошло в 50-70 годы, традиционной прикладной сферой использования интерполяционных сплайнов стали в настоящее время системы автоматизированного проектирования. Однако потенциальные возможности сплайнов значительно шире, чем просто описание некоторых кривых. В реальном мире большое количество физических процессов по самой своей природе являются сплайнами. В механике это деформация гибкой пластины или стержня, зафиксированных в отдельных точках; траектория движения тела, если сила, действующая на него меняется ступенчато (траектория искусственного космического объекта с активными и инерционными отрезками движения, траектория движения самолета при ступенчатой ​​изменении тяги двигателей и изменении профиля крыла и т. д.). В термодинамике это теплообмен в стержне, составленном из фрагментов с различной теплопередачей. В химии — диффузия через слои различных веществ. В электричестве — распространение электромагнитных полей через разнородные среды. То есть, сплайн не надуманная математическая абстракция, а во многих случаях он является решением дифференциальных уравнений, описывающих вполне реальные физические процессы.

Рассмотрение сплайнов начнем с определения алгебраического сплайна []: Функция определенная и непрерывная на отрезке , называется полиномиальным сплайном порядка с узлами , если на каждом из отрезков , является алгебраическим полиномом степени, не превышающей , а в каждой из точек некоторая производная может иметь разрыв. Если в точке непрерывные функции , а производная в точке терпит разрыв, число называют дефектом сплайна. Множество называют сеткой узлов сплайна, а точки узлами или точками соприкосновения или склейки сплайна.

Как следует из определения, для построения сплайна, состоящего из фрагментов, требуется найти такие значения числовых параметров для каждого фрагмента - полинома степени , которые обеспечат непрерывность в узлах как самой функции, так и необходимых производных. Так, всего следует определить параметров. С учетом условия интерполяции и непрерывности первых двух производных определение параметров сводится к решению системы с линейных уравнений. Как правило, значения коэффициентов для отрезков полиномов непосредственно не рассчитываются.

Для определения интерполяционного сплайна с непрерывной первой производной, достаточно рассчитать значение первой производной в узлах. Способ определения производных в узлах сплайна определяет широкое разнообразие интерполяционных сплайнов. Часто производные определяются не как константы, а как некоторые зависимости от интерполируемой функции и сетки интерполяции.

Если значение первой производной в узлах рассчитывать исходя из условия непрерывности второй производной (решая систему с n линейных уравнений), то сплайн иметь две непрерывные производные. Такой способ построения сплайна, как и сам сплайн называют глобальным, поскольку при определении каждого из его коэффициентов учитывается все множество узлов интерполяции.

В других случаях, для определения отдельного коэффициента учитываются только ближайшие узлы интерполяции и такие способы построения, как и сами сплайны, называют локальными. Параметры фрагмента такого сплайна можно определить независимо от других фрагментов.

Простым условием построения фрагмента локального сплайна является условие равенства полинома на концах отрезков соответствующим значениям интерполируемой функции.

Для простейшего сплайна - ломаной - этого условия вполне достаточно. Два коэффициента прямой однозначно определяются из двух уравнений. Такой сплайн является локальным. Для полиномов высших степеней мы должны добавить дополнительные условия таким образом, чтобы общее число уравнений было равно числу коэффициентов полинома. Так, для сплайна 3-й степени таким условием является равенство 1-й производной на концах отрезка некоторому значению, которое определяется для соседних участков одинаковым образом (в формулах (2) через значение производной функции, которой приближают).

Система из 4-х уравнений

позволяет однозначно определить 4 коэффициента полинома. Для полинома 5-й степени мы должны дополнительно наложить условие равенства 2-й производной на концах отрезка и т. д. Приведенное выше показывает, почему сплайны строят преимущественно из полиномов нечётных степеней (с чётным количеством коэффициентов).

Для полиномов четных степеней при сборке системы (3) остается неопределенной производная в одном из концов отрезка, и условие равенства производных (гладкости кривой) не будет выполняться. Поэтому для полинома 2-й степени невозможно достичь равенства первой производной в точках стыка, а для 4-й степени - второй производной и т.д., исходя из системы уравнений (3). Для построения сплайнов с четными степенями искусственно добавляют дополнительные условия чтобы сформировать систему уравнений, подобную (3). Когда производные полинома сплайна определяются как соответствующие производные интерполируемой функции, то сплайн является эрмитовым.

Существуют локальные методы построения сплайнов Бесселя и Акими, B - сплайны []. В основном, когда речь идет о сплайнах, то имеют в виду сплайны, построенные из алгебраических полиномов. Именно к ним относится приведенное выше определение. Именно эти сплайны являются наиболее изученными. Однако сплайн может состоять из фрагментов функций любого класса. В [] рассмотрено построение таких сплайнов и исследуются их свойства. Автор не дает общего определения построенных сплайнов. Очевидно, что для любых классов функций, из которых состоит сплайн, приведенное в начале статьи определение не совсем подходит. Если, например, сплайн состоит из отрезков экспоненты, то понятие дефекта сплайна теряет смысл. Хотя количество непрерывных производных останется важной характеристикой. Построение сплайна, фрагментами которого являются разрывные функции (рациональные функции, функции Паде), несколько выходит за рамки сплайновой идеи, поскольку одним из основных преимуществ сплайнов является их гладкость. Если произвольно расширять такие конструкции, то стираются различия сплайнов от кусковых функций. Другим преимуществом сплайнов является эффективность вычислений. Чрезмерное усложнение фрагментов существенно снижает преимущество сплайнов перед классическими функциями.

Для сплайнов характерны следующие признаки: сплайн состоит из фрагментов - функций одного класса, которые отличаются только своими параметрами, на соседние фрагменты в точках стыковки накладываются определенные условия, которые сводятся к непрерывности значений и некоторых первых производных. Сплайны - направление прикладной математики, которое интенсивно развивается. В Интернете содержится обширная библиография по сплайнов (Spline Bibliography Database (SBD)) .

Классификация сплайнов

Как отмечалось выше, существует большое количество конструкций, которые называют сплайнами. Поэтому необходимо внести определенную классификацию в это многообразие, имея целью выделить те признаки, которые позволят выбрать сплайны годные для конкретной прикладной задачи.

Вид фрагментов сплайна. То, что сплайн состоит из фрагментов одинакового вида, является одним из ключевых признаков, что отличает его от других кусковых функций.

Самые известные сплайны — состоящие из фрагментов — алгебраических полиномов не выше заданной степени. Как правило, это кубические полиномы, или полиномы не парных степеней. Линейный, кубический, пятой степени. Высшие степени применяют редко, несмотря на усложнение расчетов и сложности, описанные в предыдущем разделе. Основным их преимуществом является простота расчетов и анализа. Недостатком является то, что относительно мало реальных физических процессов соответствуют этой зависимости.

Экспоненциальные сплайны. Если гибкую металлическую линейку, зафиксированную в узлах, натянуть, то решением дифференциального уравнения будет не алгебраический полином, а экспонента. Поэтому такие сплайны называют также напряженными. Экспонента описывает многие физические процессы в динамических системах. Недостатком является трудность расчета.

Тригонометрическими являются сплайны, фрагменты которых описываются тригонометрическими полиномами. Имеют достаточно сложные расчетные выражения. Более пятидесяти различных по виду фрагментов сплайнов описаны в работах Попова Б. А. 

Также существуют рациональные сплайны и сплайны Паде. Их особенностью является возможность разрыва производных на фрагментах, при непрерывности в узлах. Ансерме М. строит фракциональные сплайны, где фрагменты заданы с помощью Гамма-функции.

Целесообразность применения определенного вида фрагментов основывается на конкретных условиях задачи и ограничениях реализации. Как правило, основными требованиями являются достижение заданной точности интерполяции при приемлемых затратах времени и ресурсов на реализацию. Удачный выбор вида фрагментов, что соответствует характеру процесса, позволяет сократить расходы.

Число фрагментов. Очевидно, что минимальное число фрагментов — один. Классическое определение сплайна ограничивает число фрагментов определенным числом на конченом отрезке. Однако можно строить сплайны и с бесконечным числом фрагментов, а реально эти методы и алгоритмы которые не нуждаются в информации об определенном количестве фрагментов. Представителем этих сплайнов являются кардинальные, исследованные Шенбергом. Для построения сплайнов с неограниченным числом фрагментов лучше подходят локальные сплайны.

Ширина фрагментов. Следует выделить сплайны с равной шириной фрагментов. Это позволяет значительно упростить расчетные выражения и ускорить работу алгоритмов и снизить затраты на реализацию. Определенного упрощения можно достичь за счёт применения фрагментов с кратной шириной. Существуют сплайны с нулевой шириной фрагментов (Де Бур). Это приводит к кратности узлов и возможности приближать сплайны с неразрывными фрагментами разрывных функций. Расчетные выражения получают в результате предельных переходов. Сплайны могут иметь также фрагменты с бесконечной шириной. Эти фрагменты должны быть крайними. Иногда это позволяет естественно задать краевые условия.

Условия стыковки фрагментов. Еще один важный признак, что отличает сплайны. Когда идет речь о сплайнах, как правило, считают, что фрагменты стыкуются гладко. То есть обеспечивается непрерывность значений и первой производной. Понятие дефекта сплайна связано с числом непрерывных производных, которые имеет функция-фрагмент определенного вида и числом производных, непрерывность которых гарантирована в узлах. Экспонента, синусоида имеют бесконечное число производных. Для них это понятие не имеет смысла. Поэтому удобнее говорить прямо о числе производных, непрерывность которых гарантирована в узлах сплайна. Практически речь идет о непрерывности значений и первой, максимум второй производной. Разрыв второй и высших производных визуально не заметно, поэтому учитывается редко. Понятно, что первая производная в точках стыка может задаваться по-разному. Наиболее распространены два приёма. Значение первой производной выбирается так, чтобы обеспечить непрерывность второй (глобальные кубические сплайны минимального дефекта). Первая производная равняется первой производной интерполируемой функции (возможно приближенно) в эрмитовых сплайнах.

Краевые условия. Если сплайны имеют ограниченное число фрагментов, то естественно у них отсутствуют крайние фрагменты слева и справа. То есть крайние узлы не с чем стыковать. Исключением являются лишь периодические сплайны, которые имеют естественное продолжение. Иногда естественными называют краевые условия с нулевой производной, хотя никаких оснований считать их более естественными, чем другие, нет. Если сплайн имеет фрагменты одинаковой ширины, считают недостающие фрагменты той же ширины. Другой вариант - это считать недостающие фрагменты продлёнными в бесконечность. Преимущество такого подхода в возможности экстраполяции. Можно считать ширину фрагментов нулевой. Расчетные выражения получают предельными переходами. Если взглянуть на краевые условия с точки зрения формирования сплайна из базисных функций, то они сводятся к продолжению соответствующих локальных базисных функций. Ширина соседних фрагментов влияет на их форму. А простое обрезание часто приводит к осцилляции и росту погрешности на краях. Важное значение краевые условия имеют при обработке изображений и в задачах с экстраполяцией.

Дополнительные ограничения. Они чаще всего касаются производных в узлах. Иногда они вытекают из физики процесса. Условия: неотъемлемость значений, равенство моментов, площадей, условия нормирования. Дополнительные условия иногда упрощают анализ свойств сплайнов, но могут серьезно затруднять построение и затраты реализации.

Сетка точек интерполяции. Может существенно влиять на эффективность расчетов. Важны случаи равномерной сетки и равномерной сетки, с расстоянием между точками, кратным расстоянию между узлами сплайна.

Локальные свойства базисных функций. Сплайн можно представить как сумму взвешенных базисных сплайнов. Существенным является ширина этих базисных функций. Так, в глобальных сплайнах базисные сплайны ненулевые на всём отрезке интерполяции. Хотя стоит заметить, что с определенной точностью (достаточной для многих технических расчетов) их можно считать локальными. У локальных сплайнов ширина базисных функций невелика (четыре фрагмента у кубических эрмитовых сплайнов). Это существенно влияет на эффективность расчетов и затраты реализации.

Форма представления. Функции, задающие фрагменты сплайна, как правило, зависят от множества параметров, благодаря которым они меняют свою форму. Значения параметров на каждом из фрагментов индивидуальны. Эти параметры могут задавать конкретный сплайн. Для полиномиальных сплайнов это полиномиальные коэффициенты. Так, сплайн можно представить множеством параметров функций на каждом из фрагментов. Назовем это представление пофрагментным. Такое представление является наглядным, часто имеет явный физический смысл. Но число параметров является чрезмерным. Так, для кубического сплайна необходимо иметь 4 * (r-1) параметров (r — число узлов сплайна). Значительно более компактным является представление сплайна в виде полинома, через базисные сплайн-функции в виде:

,

где  — базисные сплайн-функции (как правило локальные), - числовые коэффициенты, задающие вес базисных функций при формировании сплайна. Число параметров, задающих сплайн, равно числу узлов сплайна. Между параметрами функции на фрагменте и коэффициентами полинома-сплайна существует зависимость, что позволяет с одними коэффициентами находить другие, хотя формулы могут иметь достаточно сложный вид.

Содержание коэффициентов сплайна. Как отмечалось в предыдущем пункте, содержание параметров сплайна при пофрагментном представлении определяется типом функции. При полиномиальном представлении следует выделить случай, когда коэффициенты имеют тот же физический смысл, что и входные данные. То есть, коэффициенты являются значениями сплайна в узлах. Такую форму называют Лагранжевой, по аналогии с полиномом Лагранжа. Следует заметить, что базисные сплайны этой формы равны единице в центральном узле и нулю во всех остальных.

Особые сплайны. В ряде случаев рассматривают функции, которые находятся близко к границе между сплайнами и обычными функциями, а также сплайнами и кусковыми функциями. К примеру, это сплайны, состоящие из двух фрагментов. Имеют упрощенный вариант построения, но особое внимание следует уделять краевым условиям.

Литература

• Роджерс Д.,Адамс Дж. Математические основы машинной графики. — М.: Мир, 2001. — ISBN 5-03-002143-4
• Лившиц Евгений Давидович. Непрерывные E-выборки для приближения полиномиальными и рациональными сплайнами : Дис. … канд. физ.-мат. наук : 01.01.01 Москва, 2005 90 с. РГБ ОД, 61:06-1/42
• Обзор возможностей и средств Spline Toolbox 3.2
• Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. — Теория сплайнов и ее приложения
• Винниченко Л. Ф. Экспоненциальные гистосплайны: предпосылки введения// Publishing house Education and Science s.r.o., конференция «Европейская наука XXI века», 2009
• Экстремальные свойства полиномов и сплайнов / отв. ред. А. И. Степанец; ред. С. Д. Кошис, О. Д. Мельник, АН Украины, Ин-т математики. — К.: Наукова думка, 1992. — 304 с. — ISBN 5-12-002210-3
• Вершинин В. В., Завьялов Ю. С, Павлов Н. Н. Экстремальные свойства сплайнов и задача сглаживания. — Новосибирск: Наука, 1988, УДК 519.651
• Роженко Александр Иосифович. Теория и алгоритмы вариационной сплайн-аппроксимации : Дис. … д-ра физ.-мат. наук : 01.01.07 : Новосибирск, 2003 231 c. РГБ ОД, 71:05-1/136
• Шикин Е. В., Плис Л. И. Кривые и поверхности на экране компьютера. Руководство по сплайнам для пользователей. — М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1996. — 240 с. ISBN 5-86404-080-0, УДК 681.3 Ш57
• Хакимов Б.В. Моделирование корреляционных зависимостей сплайнами на примерах в геологии и экологии. — С-Пб.: НЕВА, 2003. — 144 с. — ISBN 5-211-04588-2