Кривая Пеано — общее название для параметрических кривых, образ которых содержит квадрат (или, в более общем смысле, открытые области пространства)

Обычно такие примеры строятся как предел последовательности кривых.

Свойства

Всякая кривая Пеано имеет кратные точки — это «предложение имеет огромную принципиальную важность для геометрии, так как оно показывает, в чем именно кроется самая геометрическая сущность различия числа измерений плоскости и прямой» (Лузин). Не существует кривой Пеано, всякая точка которой была бы простой или двукратной, но существует кривая Пеано, имеющая самое большее лишь трёхкратные точки (в счётном числе),— такова, например, кривая, построенная самим Пеано; конструкция Гильберта ниже содержит четырёхкратные точки (также в счётном числе).

С понятием кривой Пеано связан любопытный факт существования пространственных простых дуг, проектирующихся на плоскость в виде сплошных площадей, — такова, например, кривая

где первые две функции задают кривую Пеано. Хотя эта дуга и может защитить от вертикальных солнечных лучей, она не может служить защитой от дождя так как не есть непрерывная поверхность.

Существуют кривые Пеано, сохраняющие меру, то есть мера Лебега подмножества квадрата совпадает с мерой Лебега его прообраза на отрезке. Нижеприведённый пример Гильберта обладает этим свойством.

Примеры

1.^[1]Рассмотрим функции f(x) и g(x), определенные на отрезке [0,1] следующим образом. Пусть разложение x в троичной системе счисления имеет вид 0, x₁ x₂ x₃ ... x_k (каждое из x_k равно 0, 1 или 2). Тогда f(x) мы определим как число, имеющее следующее разложение 0,f₁ f₂ f₃ ... f_k в троичной системе:

f₁ = x₁
f₂ = x₃, если x₂ четно, и 2-x₃, если x₂ нечетно
...
f_k = x_2k-1, если x₂+x₄+...+x_2k-2 четно
f_k = 2-x_2k-1, если x₂+x₄+...+x_2k-2 нечетно

Аналогичным образом определим функцию g(x) = 0, g₁ g₂ ... g_k... в троичной системе счисления:

g₁ = x₂, если x₁ четно, и 2-x₂, если x₁ нечетно
...
g_k = x_2k, если x₁+x₃+...+x_2k-1 четно
g_k =2-x_2k, если x₁+x₃+...+x_2k-1 нечетно

Рассмотрим теперь отображение: x → [f(x), g(x)]. Можно доказать, что:

1. Функции f(x) и g(x) корректно определены (т.е. в числах, допускающих 2 представления в троичной системе счисления, значения f(x) и g(x) окажутся не зависящими от выбора представления).

2. Функции f(x) и g(x) непрерывны на [0,1].

3. Система уравнений f(x) = a и g(x) = b имеет не менее 1 и не более 4 решений при любых a и b, лежащих на отрезке [0,1].

Тем самым, отображение с координатными функциями f и g на плоскости x → [f(x),g(x)] непрерывно переводит отрезок [0,1] в квадрат [0,1]².

Обобщения

Существует аналог кривых Пеано, заполняющий многомерный куб и даже гильбертов кирпич.

Далеко идущее обобщение содержит теорема Мазуркевича:

История

Первая такая кривая была построена Джузеппе Пеано в 1890.

Литература

• Peano G., «Math. Ann.», 1890, Bd 36, S. 157;
• Александров П. С, Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977;
• Лузин Н. Н., Теория функций действительного переменного, 2 изд., М., 1948.

Ссылки

1. ↑ Идея почерпнута в книге: Макаров Б.М. Голузина М.Г. Лодкин А.А. Подкорытов А.Н. "Избранные задачи по вещественному анализу" М.:Наука, 1992, стр. 44.