Треугольник Рёло - кривая постоянной ширины. Стороны квадрата - опорные прямые: каждая сторона касается треугольника, но не пересекает его. Треугольник Рёло можно вращать, и при этом он всегда будет касаться каждой стороны квадрата; таким образом ширина треугольника (расстояние между двумя опорными прямыми) постоянна.
Кривая постоянной ширины — плоская выпуклая кривая, длина ортогональной проекции которой на любую прямую равна .
Иными словами, кривой постоянной ширины называется плоская выпуклая кривая, расстояние между любыми двумя параллельными опорными прямыми которой постоянно и равно — «ширине» кривой.
Связанные определения
- Фигурой постоянной ширины называется фигура, граница которой является кривой постоянной ширины.
Примеры
Фигурами постоянной ширины являются:
Свойства
- Длина кривой постоянной ширины равна (теорема Барбье).
- Центры вписанной и описанной окружностей в кривую постоянной ширины совпадают, а сумма их радиусов равна ширине кривой.
- Фигура постоянной ширины может вращаться в квадрате со стороной всё время касаясь каждой из сторон.
- Среди всех фигур данной постоянной ширины треугольник Рёло имеет наименьшую площадь, а круг — наибольшую.
- Любую плоскую фигуру диаметра можно накрыть фигурой постоянной ширины .
Применения
- Сверло, сделанное на основе треугольника Рёло, позволяет[1] сверлить квадратные отверстия (с неточностью в 2 %).
- Британские монеты достоинством 20[2] и 50 пенни имеют форму фигуры постоянной ширины, построенной на семиугольнике.
- Двигатель Ванкеля использует[2] в качестве поршня вращающийся внутри камеры треугольник Рёло, что позволяет сразу получать вращательное движение.
- Грейферный механизм, отвечающий за «дискретную» протяжку ленты в кинопроекторе «Луч-2», использует вращающийся внутри подвижного квадрата треугольник Рёло[2].
Вариации и обобщения
- Фигуры постоянной ширины можно определить как выпуклые фигуры способные вращаться внутри квадрата одновременно касаясь всех его сторон. Можно также рассматривать фигуры способные вращаться касаясь всех сторон некоторого -угольника, например правильного -угольника. Такие фигуры называются роторами[3].
- Например двуугольник образованный пересечением двух одинаковых кругов с углом при вершине равным является ротором равностороннего треугольника. Сверлом такой формы в принципе можно было бы сверлить треугольные отверстия без сглаженных углов.
- У фигур постоянной ширины существуют многомерные аналоги, смотри Тело постоянной ширины.
Примечания
Литература
- Выпуклые фигуры, выпуск 4 серии «Библиотека математического кружка» М.-Л., ГТТИ, 1951.-343 с.
