Губка Менгера — геометрический фрактал, один из трёхмерных аналогов ковра Серпинского.

Построение

Куб с ребром 1 делится плоскостями, параллельными его граням, на 27 равных кубов. Из куба удаляются центральный куб и все прилежащие к нему по двумерным граням кубы этого подразделения. Получается множество , состоящее из 20 оставшихся замкнутых кубов «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из кубов первого ранга, получим множество , состоящее из 400 кубов второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность

пересечение членов которой есть губка Менгера.

Свойства

• Каждая грань исходного куба выглядит как ковёр Серпинского.
• Губка Менгера имеет промежуточную (то есть не целую) Хаусдорфову размерность, которая равна поскольку она состоит из 20 равных частей, каждая из которых подобна всей губке с коэффициентом подобия 1/3.
• Губка Менгера имеет топологическую размерность 1, более того
  • Губка Менгера топологически характеризуется как одномерный связный локально связный метризуемый компакт, не имеющий локально разбивающих точек (то есть для любой связной окрестности любой точки множество связно) и не имеющий непустых открытых и вложимых в плоскость подмножеств.
• Губка Менгера является универсальной кривой Урысона, то есть она обладает тем свойством, что какова бы ни была кривая Урысона , в губке Менгера найдется подмножество , гомеоморфное .

См. также

• Кривая Урысона