Тригонометрические тождества — математические выражения для тригонометрических функций, которые выполняются при всех значениях аргумента (из общей области определения).
| Формула | Допустимые значения аргумента | Номер |
|---|---|---|
| (1) | ||
| (2) | ||
| (3) |
Формула (1) является следствием теоремы Пифагора. Формулы (2) и (3) получаются из формулы (1) делением на и соответственно.
| Формулы сложения аргументов | |
|---|---|
| (4) | |
| (5) | |
| (6) | |
| (7) | |
Формула (6) получается при делении (4) на (5). А формула (7) — при делении (5) на (4)
На Рис. 4 изображены четыре прямоугольных треугольника: ABC, ABE, ADE и CDE.
Принято, что AE = 1, .
Так как AE = 1, то
Из треугольника ABC следует:
Из треугольника CDE следует:
Приравниваем правые части уравнений (14) и (16):
Приравниваем правые части уравнений (15) и (17) и решаем, полученное уравнение относительно CE:
Подставляем (CE) из (19) в (18):
Полученное значение для CD подставляем в (15):
Итак:
Из формулы (15) следует:
Из формулы (16) и (17) следует:
Приравниваем правые части (21) и (22) и находим :
Подставляем значение :
Итак:
Формулы двойного угла выводятся из формул (4), (5) , (6) и (7), если принять, что угол β равен углу α:
| Формулы двойного угла | |
|---|---|
| (23) | |
| (24) | |
| (25) | |
для формулы :
для формулы :
| Формулы тройного угла |
|---|
для формулы :
для формулы : ;
Формулы понижения степени выводятся из формул (24):
| Синус | Косинус | Произведение | |||
|---|---|---|---|---|---|
| (26) | (27) | ||||
| Формулы преобразования произведений функций | |
|---|---|
| (28) | |
| (29) | |
| (30) | |
Формулы сложения функций выводятся из формул сложения аргументов (5), (6) и (7). Например, из формулы (5) следует:
То есть:
Остальные формулы преобразования произведений функций выводятся аналогично.
| Формулы преобразования суммы функций | |
|---|---|
| (31) | |
| (32) | |
| (33) | |
| (34) | |
| (35) | |
Формулы преобразования суммы функций выводятся из формул преобразования произведений функций (28), (29), (30) и (31) с помощью подстановки:
и
Подставим эти выражения в формулу (28):
Остальные формулы преобразования суммы синуса и косинуса выводятся аналогично. Из формулы (7) следует:
Преобразование суммы синусов 3-x разных углов в произведение при : :
Тождества имеют смысл, только когда существуют обе части (то есть при ).
Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа выполнено следующее равенство:
где — основание натурального логарифма,
При помощи формулы Эйлера можно определить функции и следующим образом:
Откуда:
Тригонометрические тождества.
