Область определения функции — множество, на котором задаётся функция .
Содержание |
Если задана функция, которая действует из одного множества в другое, то множество, из которого действует данная функция, называется областью определения.
Более формально, пусть задано отображение , которое отображает множество в , то есть: ; тогда
Обычно предполагается, что , из-за чего понятие области определения выглядит тавтологией: «область определения функции — это область, где определена функция». Для того, чтобы придать чёткий смысл данному понятию, рассматривается некоторое более широкое множество, которое называется областью отправления, и тогда область определения функции — это такое подмножество множества (которое и есть область отправления функции), где для каждого элемента определено значение функции .
Этот факт коротко записывают в виде: .
Наиболее наглядные примеры областей определения доставляют числовые функции. Мера и функционал также доставляют важные в приложениях виды областей определения.
Числовые функции — это функции, относящиеся к следующим двум классам:
где и — множества вещественных и комплексных чисел соответственно.
Область определения функции совпадает с областью отправления ( или ).
Область определения функции : представляет собой комплексную плоскость без нуля
и не совпадает с областью отправления (вся комплексная плоскость).
Область определения дробно-рациональной функции вида
представляет собой вещественную прямую или комплексную плоскость за исключением конечного числа точек, которые являются решениями уравнения
Эти точки называются полюсами функции .
Если каждая точка области определения функции — это некоторое множество, например, подмножество заданного множества, то говорят, задана функция множества.
Мера — пример такой функции, где в качестве области определения функции (меры) выступает некоторая совокупность подмножеств заданного множества, являющееся, например, кольцом или полукольцом множеств.
Например, определённый интеграл представляет собой функцию ориентированного промежутка.
Пусть — семейство отображений из множества в множество . Тогда можно определить отображение вида . Такое отображение называется функционалом.
Если, например, фиксировать некоторую точку , то можно определить функцию , которая принимает в «точке» то же значение, что и сама функция в точке .
Область определения функции под корнем, область определения функции это одз.
Искандер, Рамиля Рифовна, Файл:Nicolaas Witsen. Pontus Euxinus of niewe en naaukeurige paskaart van de zwarte zee uyt verscheydene stucken van die gewelten toegesonden, ontworpen door (18th century).jpg.