В теории множеств теорема Кантора гласит, что
|
Любое множество менее мощно, чем множество всех его подмножеств. |
Предположим, что существует множество , равномощное множеству всех своих подмножеств , то есть, что существует такая биекция , ставящая в соответствие каждому элементу множества некоторое подмножество множества .
Рассмотрим множество , состоящее из всех элементов , не принадлежащих своим образам при отображении (оно существует по аксиоме выделения): .
биективно, а , поэтому существует такой, что .
Теперь посмотрим, может ли принадлежать .
Если , то , а тогда, по определению , .
И наоборот, если , то , а следовательно, . В любом случае, получаем противоречие.
Следовательно, исходное предположение ложно и не равномощно .
Заметим, что содержит подмножество, равномощное (например, множество всех одноэлементных подмножеств ), а тогда из только что доказанного следует .
Теорема кантора о несчетности множества действительных чисел, теорема кантора о равномерной непрерывности функции на отрезке, теорема кантора про рівномірну неперервність, теорема кантора о мощности множества подмножеств.
Шинаси Ибрахим, Ловетт, Лайл, Линдберг, Магнус, Крастелев, Михаил Андроникович, Файл:Plecotus auritus 01.jpg.
