Пусть  — множество. Множество всех подмножеств множества называется булеаном (также степенью множества, показательным множеством или множеством частей) и обозначается или . Ясно, что и .

Если два множества равномощны, то равномощны и их булеаны. Обратное утверждение (т.е. инъективность операции для кардиналов) является независимым от ZFC.

Справедливо следующее утверждение:

Доказательство проведем методом математической индукции.

База. Если , т. е. множество пусто, то у него только одно подмножество — оно само, и интересующее нас число равно .

Индукционный шаг. Пусть утверждение справедливо для некоторого n и пусть  — множество с кардинальным числом . Зафиксировав некоторый элемент , разделим подмножества множества на два типа:

1. , содержащее ,
2. , не содержащее , то есть являющиеся подмножествами множества .

Подмножеств типа (2) по предположению индукции . Но подмножеств типа (1) ровно столько же, так как подмножество типа (1) получается из некоторого и притом единственного подмножества типа (2) добавлением элемента и, следовательно, из каждого подмножества типа (2) получается этим способом одно и только одно подмножество типа (1).

Следовательно имеем и . По индукционному предположению и . Получаем .

См. также

• Аксиома булеана
• Теорема Кантора
• Континуум-гипотеза