Пусть — множество. Множество всех подмножеств множества называется булеаном (также степенью множества, показательным множеством или множеством частей) и обозначается или . Ясно, что и .
Если два множества равномощны, то равномощны и их булеаны. Обратное утверждение (т.е. инъективность операции для кардиналов) является независимым от ZFC.
Справедливо следующее утверждение:
Число подмножеств конечного множества, состоящего из элементов, равно . |
Доказательство проведем методом математической индукции.
База. Если , т. е. множество пусто, то у него только одно подмножество — оно само, и интересующее нас число равно .
Индукционный шаг. Пусть утверждение справедливо для некоторого n и пусть — множество с кардинальным числом . Зафиксировав некоторый элемент , разделим подмножества множества на два типа:
Подмножеств типа (2) по предположению индукции . Но подмножеств типа (1) ровно столько же, так как подмножество типа (1) получается из некоторого и притом единственного подмножества типа (2) добавлением элемента и, следовательно, из каждого подмножества типа (2) получается этим способом одно и только одно подмножество типа (1).
Следовательно имеем и . По индукционному предположению и . Получаем .
Это заготовка статьи по теории множеств. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её. |
Булеан счетных множеств, булеан 3 д макс, булеан множества онлайн.
Инфицирование вирусом иммунодефицита человека, Марсело Торкуато де Альвеар, Татармультфильм, Файл:Модель поиска работы с резервной заработной платой.png.