В данной статье приведен список различных квадратурных формул, для численного интегрирования.

Обозначение

В общем виде формула численного интегрирования записывается следующим образом:

,

• — интегрируемая функция;
• — веса интегрирования;
• — система координат мастер-элемента;
• — матрица Якоби для перехода на мастер-элемент.

В силу аддитивности интеграла в качестве области интегрирования будут рассматриваться простые области (треугольник, четырёхугольник, тетраэдр и так далее), при сложной геометрии область можно представить как объедение простых и посчитать интеграл по ним или представить с помощью сплайна отображение на мастер-элемент.

В статье для обозначения естественных координат будут использоваться переменные , для обозначения координат мастер-элемента — .

Одномерный интеграл

Для одномерное интегрирование — это всегда интегрирование по отрезку.

• Область интегрирования: отрезок ;
• Мастер-элемент: отрезок ;
• Переход на мастер-элемент: ;
• Переход с мастер-элемента: ;
• Якобиан: .

Двухмерный интеграл

Квадратный мастер-элемент

• Область интегрирования: прямоугольник
• Мастер-элемент: квадрат
• Переход на мастер-элемент:

;

• Переход с мастер-элемента:

;

• Якобиан: .

Данные формулы интегрирования можно использовать и когда область интегрирования — выпуклый четырёх угольник, но тогда формулы перехода на мастер-элемент (и обратно) не будут иметь такой простой вид. Получить выражение для перехода можно используя интерполяционный полином.
Многие из формул интегрирования по квадрату можно получить, как комбинацию формул по отрезку: в качестве точек интегрирования берутся все возможные пары одномерных точек, а в качестве весов — соответствующие произведения весов интегрирования. Примерами таких методов в таблице ниже являются метод прямоугольников, метод трапеций и метод Гаусса-2.

Треугольный мастер-элемент

• Область интегрирования: треугольник, образованный вершинами ;
• Мастер-элемент: треугольник, образованный вершинами .

Для перехода на мастер-элемент используются барицентрические координаты (L-координаты), обозначим их .

Для вычисления коэффициентов L-координат используется матрица :

Матрица коэффициентов обратна к : .

• Переход на мастер элемент:

• Переход с мастер элемента:

• Якобиан : .

Трёхмерный интеграл

Кубический мастер-элемент

• Область интегрирования: параллелепипед
• Мастер-элемент: куб
• Переход на мастер-элемент:

• Переход с мастер-элемента:

;

;

• Якобиан: .

Аналогично как и для квадрата, куб можно использовать как мастер-элемент для произвольного шестигранника, но тогда формулы перехода и якобиана усложнится.
Так же, аналогично с квадратом, многие формулы интегрирования по кубу можно получить из формул интегрирования по отрезку, координаты узлов — это все возможные тройки коордиант одномерной формулы, а веса интегрирования — произведение соответствующих весов одномерной формулы.

Тетраэдральный мастер-элемент

• Область интегрирования: тетраэдр, образованный вершинами .
• Мастер-элемент: тетраэдр, образованный вершинами .

Аналогично с треугольником для перехода на мастер-элемент используются L-координаты тетраэдра, обозначим их :

Матрица коэффициентов определяется, как: , где

• Переход на мастер-элемент:

• Переход с мастер-элемента:

• Якобиан : .

Литература

• Мысовсих И. П. Интерполяционные кубатурные формулы. — Москва: Наука, 1981. — С. 336.

Ссылки

• Numerical Integration over the Triangular Domain (англ.). — Интегрирование по треугольному элементу. Проверено 12 июня 2014.
• Numerical Integration over the Tetrahedral Domain (англ.). — Интегрирование по тетраэдальному элементу. Проверено 12 июня 2014.

Примечания