В топологии, расслоение Хопфа — расслоение трёхмерной сферы над двумерной со слоем-окружностью:
Одним из самых простых способов задания этого расслоения является представление трёхмерной сферы как единичной сферы в , а двумерной сферы как комплексной проективной прямой . Тогда отображение
и задаёт расслоение Хопфа. При этом слоями расслоения будут орбиты свободного действия группы :
где окружность представлена как множество единичных по модулю комплексных чисел:
Обобщения
- Совершенно аналогично, нечётномерная сфера расслаивается со слоем-окружностью над
- Также (помимо вышеуказанной «комплексной»), существуют вещественная, кватернионная и октавная версии таких семейств расслоений. Они начинаются соответственно с:
- (вещественная),
- (комплексная — собственно расслоение Хопфа),
- (кватернионная),
- (октавная).
На самом деле, это все расслоения, для которых и слой, и база, и тотальное пространство являются сферами.
Ссылки
- Видео-демонстрация отображения Хопфа на сайте Dimensions-math, главы 7 и 8
- Пояснения к демонстрации отображения Хопфа на сайте Dimensions-math
- Отображение Хопфа на сайте Mathworld
См. также
- Сфера Римана — комплексная проективная прямая, базовое многообразие расслоения Хопфа
- Унитарная группа U(1) — структурная группа расслоения Хопфа
- Трехмерная сфера — в ней происходит расслоение Хопфа
- Сфера Пуанкаре и сфера Блоха — расслоение Хопфа в физике описывает поляризацию поперечной волны, состояние двухуровневой квантовой системы, релятивистское искажение небесной сферы и прочее[1][2]
Примечания
- Спиноры и пространство-время, спинорные и твисторные методы в геометрии пространства-времени. — Москва «Мир», 1988. — P. 78.
- Геометрическая фаза Берри в колебательных процессах». УФН 163 (11): 1.