Интегра́л Пуассо́на позволяет найти решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре.
Пусть для гармонической в шаре функции u(r, φ) поставлено условие равенства на границе функции u0: u(R, φ) = u0(φ), при этом функции принадлежат следующим классам гладкости: , где ∂D — граница шара D, а — его замыкание. Тогда решение такой задачи Дирихле представимо в виде интеграла Пуассона:
где ωn — площадь единичной сферы, а n — размерность пространства.
Известно, что функция
является решением задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге. Преобразуем это выражение с учётом выражений для коэффициентов Фурье:
Последнюю сумму можно вычислить при 0≤r<R:
Таким образом, в преобразованном виде интеграл Пуассона для круга приобретает вид:
Также формула может быть получена методом конформных отображений. Действительная и мнимая часть голоморфной на области функции удовлетворяют на ней двумерному уравнению Лаплсаса. Известно, что при конформном отображении области плоскости на область плоскости уравнение Лапласа для функции переходит в уравнение . С помощью дробно-линейной функции лекго получить отображение исходного круга радиуса на единичный круг, при котором произвольная точка переходит в центр. Такая функция имеет вид:
где выбирается так, чтобы граничные точки исходного круга перешли в точки , при этом , а произволен. Искомая функция перейдёт в функцию . Граничная функция перейдёт в . Тогда по теореме о среднем:
Из этого выражения можно получить явное выражение для решения задачи Дирихле в круге, если выразить через . Для граничных точек круга и круга формула дробно-линейного преобразования даёт
откуда
Производя замену переменной в интеграле, получим искомое выражение:
Это выражение эквивалентно вышеприведённому:
В.М. Уроев. Уравнения математической физики. — М.: ИФ Яуза, 1998. — ISBN 5-88923-026-3.
Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1974. — 320 с.
Пуассона интеграл.