Гармони́ческая фу́нкция — вещественная функция , определенная и дважды непрерывно дифференцируемая на евклидовом пространстве (или его открытом подмножестве), удовлетворяющая уравнению Лапласа:
где — оператор Лапласа, то есть сумма вторых производных по всем прямоугольным декартовым координатам xi (n = dim D - размерность пространства).
Например, гармонической функцией является электростатический потенциал в точках, где отсутствует заряд.
Содержание |
Функция U, гармоническая в области , достигает своего максимума и минимума только на границе . Таким образом, гармоническая функция не может иметь во внутренней точке области локального экстремума, за исключением тривиального случая постоянной в функции. Однако функция может быть неопределена на границе, поэтому правильнее сказать
Гармоническая функция, определённая на и ограниченная сверху или снизу, постоянна.
Если функция гармонична в некотором шаре с центром в точке , то её значение в точке равно её среднему значению по границе этого шара или по шару:
где — объём шара и — площадь его границы. Обратно, любая функция, обладающая свойством среднего в некоторой области, является в этой области гармонической.
Функция, гармоническая в области, бесконечно дифференцируема в ней.
| Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её. |
Гармоническая функция.