Selhoz-katalog.ru

Сельхоз каталог

Гармоническая функция

Гармони́ческая фу́нкция — вещественная функция , определенная и дважды непрерывно дифференцируемая на евклидовом пространстве (или его открытом подмножестве), удовлетворяющая уравнению Лапласа:

где  — оператор Лапласа, то есть сумма вторых производных по всем прямоугольным декартовым координатам xi (n = dim D - размерность пространства).

Например, гармонической функцией является электростатический потенциал в точках, где отсутствует заряд.

Содержание

Свойства

Принцип максимума

Функция U, гармоническая в области , достигает своего максимума и минимума только на границе . Таким образом, гармоническая функция не может иметь во внутренней точке области локального экстремума, за исключением тривиального случая постоянной в функции. Однако функция может быть неопределена на границе, поэтому правильнее сказать

Теорема Лиувилля

Гармоническая функция, определённая на и ограниченная сверху или снизу, постоянна.

Свойство среднего

Если функция гармонична в некотором шаре с центром в точке , то её значение в точке равно её среднему значению по границе этого шара или по шару:

где  — объём шара и  — площадь его границы. Обратно, любая функция, обладающая свойством среднего в некоторой области, является в этой области гармонической.

Дифференцируемость

Функция, гармоническая в области, бесконечно дифференцируема в ней.

Литература

  • Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-X

См. также


Гармоническая функция.

© 2021–2023 selhoz-katalog.ru, Россия, Тула, ул. Октябр 53, +7 (4872) 93-16-24