Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).
Содержание |
Пусть дана функция и — внутренняя точка области определения Тогда
Если неравенства выше строгие, то называется точкой строгого локального максимума или минимума соответственно.
Значение функции называют (строгим) (локальным) максимумом или минимумом в зависимости от ситуации. Точки, являющиеся точками (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума.
Функция определённая на множестве может не иметь на нём ни одного локального или абсолютного экстремума. Например,
(Математический Анализ. Том 1. Л. Д. Кудрявцев. Москва «Высшая Школа» 1973 г.)
является точкой строгого локального максимума. А если
то является точкой строгого локального минимума.
Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке
является точкой локального максимума. А если
то является точкой локального минимума.
Если чётно и , то - точка локального максимума. Если чётно и , то - точка локального минимума. Если нечётно, то экстремума нет.
Экстремум | |
---|---|
Наука | |
Математика | Максимум • Минимум • Супремум, инфимум |
Общество | Наибольшее значение: Потолок, Верхний предел, Верхушка • Наименьшее значение: Дно, Низ, Нижний предел |
Изменение | Увеличение — к максимуму • Уменьшение — к минимуму |
Прочее | Середина: Золотая середина, Среднее значение • Оптимум |
Формализация |
Методы оптимизации | |
---|---|
Одномерные | Метод золотого сечения • Дихотомия • Метод парабол • Перебор по сетке • Метод Фибоначчи • Троичный поиск |
Прямые методы | Метод Гаусса • Метод Нелдера — Мида • Метод Хука — Дживса • Метод конфигураций • Метод Розенброка |
Первого порядка | Градиентный спуск • Метод Зойтендейка • Покоординатный спуск • Метод сопряжённых градиентов • Квазиньютоновские методы • Алгоритм Левенберга — Марквардта |
Второго порядка | Метод Ньютона • Метод Ньютона — Рафсона |
Стохастические | Метод Монте-Карло • Имитация отжига • Эволюционные алгоритмы • Дифференциальная эволюция • Муравьиный алгоритм • Метод роя частиц |
Методы линейного программирования |
Симплекс-метод • Алгоритм Гомори • Метод эллипсоидов • Метод потенциалов |
Методы нелинейного программирования |
Последовательное квадратичное программирование |
Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её. |
Экстремум алтуфьево, условный экстремум сведение к безусловному, экстремум параболы.
Onitis, Файл:Słubice, kościół NMP.JPG, Брудно, Александр Львович, Файл:Berlin Altes Palais 1.jpg.