У этого термина существуют и другие значения, см.
Континуум.
В теории множеств, конти́нуум (от лат. continuum — непрерывное) — мощность (или кардинальное число) множества всех вещественных чисел. Обозначается строчной латинской буквой c во фрактурном начертании: . Множество, имеющее мощность континуум, называется континуа́льным множеством.
Также термин континуум может обозначать само множество вещественных чисел, или даже любое континуальное множество.
Свойства
- Континуум является бесконечной мощностью (алефом), превосходящей мощность счётного множества . Любое континуальное множество имеет счётное подмножество.
- Континуум не меньше, чем мощность множества всех счётных ординалов . Любое континуальное множество имеет подмножество мощности . Предположение о том, что называется континуум-гипотезой.
- Мощность объединения не более чем континуального семейства множеств, каждое из которых не более чем континуально, не превосходит континуума.
- При разбиении континуального множества на конечное или счётное число частей хотя бы одна из частей будет иметь мощность континуум. Как следствие, кофинальность (англ.) континуума - несчётна.
Примеры
Примеры множеств, имеющих мощность континуум:
- Все точки отрезка .
- Все точки плоскости (или ).
- Множество всех иррациональных чисел.
- Множество всех трансцендентных чисел.
- Множество всех подмножеств счётного множества.
- Множество всех частичных порядков на счётном множестве.
- Множество всех счётных множеств натуральных чисел.
- Множество всех счётных множеств вещественных чисел.
- Множество всех непрерывных функций .
- Множество всех открытых подмножеств плоскости (или ).
- Множество всех замкнутых подмножеств плоскости (или ).
- Множество всех борелевских подмножеств плоскости (или ).