Равнове́сие Нэ́ша — ключевое понятие теории игр. Так называется набор стратегий в игре для двух и более игроков, в котором ни один участник не может увеличить выигрыш, изменив свою стратегию, если другие участники своих стратегий не меняют.

Такая совокупность стратегий, выбранных участниками, и их выигрыши называются равновесием Нэша^[1].

Названо в честь Джона Нэша.

История

Эта концепция впервые использована Антуаном Огюстом Курно. Он показал, как найти то, что мы называем равновесием Нэша, в игре Курно. Нэш первым доказал, что подобные равновесия должны существовать для всех конечных игр с любым числом игроков. Это было сделано в его диссертации по некооперативным играм в 1950-м году.

До Нэша это было доказано только для игр с 2 участниками с нулевой суммой Джоном фон Нейманом и Оскаром Моргенштерном (1947).

Формулировка

Допустим, ${\displaystyle (S,H)}$ — некооперативная игра n лиц в нормальной форме, где S — набор чистых стратегий, а H — набор выигрышей. Когда каждый игрок ${\displaystyle i\in \{1,...,n\}}$ выбирает стратегию ${\displaystyle x_{i}\in S}$ в профиле стратегий ${\displaystyle x=(x_{1},...,x_{n}),}$ игрок i получает выигрыш ${\displaystyle \ H_{i}(x).}$ Заметьте, что выигрыш зависит от всего профиля стратегий: не только от стратегии ${\displaystyle x_{i}}$, выбранной самим игроком i, но и от чужих стратегий ${\displaystyle x_{-i}}$, то есть всех стратегий ${\displaystyle x_{j}}$ при ${\displaystyle j\neq i}$. Профиль стратегий ${\displaystyle x^{*}\in S}$ является равновесием по Нэшу, если изменение своей стратегии с ${\displaystyle x_{i}^{*}}$ на ${\displaystyle x_{i}}$ не выгодно ни одному игроку ${\displaystyle i}$, то есть для любого ${\displaystyle i}$

${\displaystyle H_{i}(x^{*})\geq H_{i}(x_{i},x_{-i}^{*}).}$

Игра может иметь равновесие Нэша в чистых стратегиях или в смешанных (то есть при выборе чистой стратегии стохастически с фиксированной частотой). Нэш доказал, что если разрешить смешанные стратегии, тогда в каждой игре n игроков будет хотя бы одно равновесие Нэша.

Примеры

• В отрасли имеются две фирмы № 1 и № 2. Каждая из фирм может установить два уровня цен: «высокие» и «низкие». Если обе фирмы выберут высокие цены, то каждая будет иметь прибыль по 3 млн. Если обе выберут низкие, то каждая получит по 2 млн. Однако, если одна выберет высокие, а другая низкие, то вторая получит 4 млн, а первая только 1. Наиболее выигрышный в сумме вариант — одновременный выбор высоких цен (сумма = 6 млн). Однако это состояние нестабильно из-за возможности относительного выигрыша, которая открывается перед фирмой, отступившей от этой стратегии. Поэтому обе компании с наибольшей вероятностью выберут низкие цены. Хотя этот вариант и не дает максимального суммарного выигрыша (сумма=4 млн.), он исключает относительный выигрыш конкурента, который тот мог бы получить за счет отступления от взаимно-оптимальной стратегии. Такая ситуация и называется «равновесием по Нэшу»^[2].

См. также

• Эффективность по Парето.
• Парадокс Бертрана.
• Эволюционно стабильная стратегия.

Примечания