Четырнадцатая проблема Гильберта

Четырнадцатая проблема Гильберта — четырнадцатая из проблем, поставленных Давидом Гильбертом в его знаменитом докладе на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Она посвящена вопросу конечной порождённости возникающих при определённых конструкциях колец. Исходная постановка Гильберта была мотивирована работой Маурера, в которой утверждалась конечная порождённость алгебры инвариантов; собственно же вопрос Гильберта касался кольца, получаемого пересечением подполя в поле рациональных функций с кольцом многочленов.^[1]

Однако, вскоре после постановки выяснилось, что работа Маурера содержала ошибку — и вопрос Гильберта начали рассматривать как вопрос о конечной порождённости алгебры инвариантов. Неожиданным образом оказалось, что ответ на этот вопрос отрицателен: в 1958 году на конгрессе в Эдинбурге М. Нагата предъявил к нему контрпример^[1]. Им была построена^[2] подгруппа в GL(n), алгебра инвариантов которой не является конечно-порождённой. Эта конструкция была затем упрощена^[1] Стернбергом в его работе^[3] 1997 года.

Содержание

1 Формулировки
- 1.1 Исходная формулировка Гильберта
- 1.2 Конечная порождённость алгебры инвариантов
2 Литература

Формулировки

Исходная формулировка Гильберта

14. Доказательство конечности некоторой полной системы функций.

<...> Мауреру недавно удалось распространить доказанные Жорданом и мною теоремы конечности в теории инвариантов на случай, когда инварианты определяются не общей проективной группой, как в обыкновенной теории инвариантов, а произвольной её подгруппой. <...>

Пусть дано некоторое число m целых рациональных функций от переменных :

$\left. \begin{array}{c} X_1 = f_1(x_1,\dots,x_n)\\ X_2 = f_2(x_1,\dots,x_n)\\ \vdots\\ X_m = f_m(x_1,\dots,x_n) \end{array} \right\} \qquad \qquad (S)$

Всякая целая рациональная связь между , если в неё внесены эти их значения, очевидно, тоже представляет целую рациональную функцию от . Вполне, однако, могут существовать дробные рациональные функции от , которые после подстановки (S) приведут к целым функциям от . Каждую такую функцию <...> я буду называть относительно целой функцией от . <...> Проблема, таким образом, выражается в следующем: установить, всегда ли возможно найти такую конечную систему относительно целых функций от , через которую любая другая относительно целая функция выражается целым и рациональным образом. <...>^[4]

Иными словами, это вопрос о конечной порождённости алгебры , где — порождённое поле. Поскольку всякое промежуточное поле является конечно-порожденым как расширение k, в итоге на современном языке исходная формулировка Гильберта звучит следующим образом:

Пусть — некоторое поле, содержащее основное поле k. Правда ли, что алгебра конечно порождена?^[1]

Конечная порождённость алгебры инвариантов

Литература

↑ Алгебры инвариантов и 14 проблема Гильберта»
↑ M. Nagata, Lectures on the Fourteenth problem of Hilbert. Tata Institute, 1965.
↑ R. Steinberg, Nagata’s example. In: «Algebraic Groups Lie Groups», Austral. Math. Soc. Lect. Series 9, Cambr. University Press (1997), 375—384.
Проблемы Гильберта / под ред. П. С. Александрова. — М.: Наука, 1969. — С. 45-47. — 240 с. — 10 700 экз.

И. В. Аржанцев Градуированные алгебры и 14-я проблема Гильберта. — М.: МЦНМО, 2009. — 64 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-94057-491-0

Проблемы Гильберта / под ред. П. С. Александрова. — М.: Наука, 1969. — 240 с. — 10 700 экз.

Проблемы Гильберта

1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11 · 12 · 13 · 14 · 15 · 16 · 17 · 18 · 19 · 20 · 21 · 22 · 23

Это заготовка статьи по алгебре. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.

Selhoz-katalog.ru

Сельхоз каталог