Функция Вейерштрасса — пример непрерывной функции, нигде не имеющей производной; контрпример для гипотезы Ампера.

Функция Вейерштрасса задается на всей вещественной прямой единым аналитическим выражением:

,

где  — произвольное нечетное число, а  — положительное число, меньшее единицы. Этот функциональный ряд мажорируется сходящимся числовым рядом

,

поэтому функция определена и непрерывна при всех вещественных . Тем не менее эта функция не имеет производной по крайней мере при

.

Для доказательства отсутствия производной в произвольной точке , строят две последовательности и , сходящиеся к точке , и доказывают, что отношения

и

имеют разные знаки по крайней мере при

и .

Для построения указанных последовательностей предварительно определяют такие целые числа , чтобы разность

лежала между и , а затем полагают

и .

Отсутствие производной во всех точках при более общих условиях

и

было установлено Харди.^[1]

Историческая справка

В 1806 году Ампер^[2] предпринял попытку доказать аналитически, что всякая «произвольная» функция дифференцируема всюду, за исключением «исключительных и изолированных» значений аргумента. При этом принималось за очевидное возможность разбиения интервала изменения аргумента на части, в которых функция была бы монотонна. С этими оговорками гипотезу Ампера можно рассматривать как нестрогую формулировку теоремы Лебега^[3]. В первой половине XIX века предпринимались попытки доказать гипотезу Ампера для более широкого класса, именно для всех непрерывных функций. В 1861 году Риман привел своим слушателям в качестве контрпримера следующую функцию

;

однако исследование дифференцируемости этой функции чрезвычайно сложно, в 1970 году Дж. Джевер доказал, что эта функция все же имеет производную в некоторых рациональных точках. В 1872 году Вейерштрасс указал более простой контрпример — введенную выше функцию и представил строгое доказательство ее недифференцируемости.^[4] В печати этот пример впервые появился в 1875 году в работе Дюбуа-Реймона^[5]. Еще более простой пример принадлежит ван дер Вардену (1930):

,

где фигурные скобки означают взятие дробной части. ^[6]

Примечания

Литература

• Weierstrass K. Math. Werke. Bd. 2. Berlin, 1895. Abh. 6.
• Рисс. Ф., С.-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979.
• Полубаринова-Кочина П. Я. Карл Вейерштрасс. Москва: Наука, 1985.