Лемма о трезубце или теорема трилистника, или лемма Мансиона (жарг.лемма о куриной лапке) — теорема в геометрии треугольника.
Лемма о трезубце используется как вспомогательное утверждение при доказательстве многих теорем, в частности, формулы Эйлера или доказательстве существования окружности Эйлера.
В зависимости от названия имеется в виду какое-то её частное свойство, см. иллюстрации.
В наиболее общем случае теорема гласит, что, если биссектриса к стороне пересекает описанную окружность в точке , то выполняется равенство: , где — инцентр, — центр вневписанной окружности, касающейся стороны .
Теорема о трилистнике
Лемма Мансиона
Лемма о трезубце
Доказательство
Пусть — центр вписанной окружности. Под будем понимать углы соответственно. Если луч пересекает описанную окружность в точке , то является средней точкой дуги , отрезок является биссектрисой угла . Проведя отрезок , заметим, что
Рассмотрим остроугольный треугольник ABC. Заметим, что четырёхугольники , , вписаны (рис. 1). Поэтому равны углы (рис 2).
рисунок 1
рисунок 2
Из этого следует, что — биссектриса в треугольнике . По совершенно аналогичным причинам и тоже биссектрисы в этом треугольнике (рис 3). Также можно заметить, что — внешние биссектрисы к треугольнику (потому что каждая из них перпендикулярна своей внутренней биссектрисе). Поэтому можно применить лемму о трезубце трижды, для каждой из сторон (рис 4).
рисунок 3
рисунок 4
Из этого получим, что середины отрезков лежат на окружности, описанной около ортотреугольника. Теперь трижды применим внешнюю лемму о трезубце (рис 5).
рисунок 5
Получим, что середины сторон лежат на окружности, описанной около ортотреугольника.
Замечание
Для того, чтоб доказать окружность Эйлера для тупоугольного треугольника c тупым углом , достаточно рассмотреть остроугольный треугольник с ортоцентром , и применить к нему те же рассуждения.
Вариации и обобщения
Лемма о трезубце для двух центров вневписанных окружностей («внешняя» лемма о трезубце)