Теорема Абеля — результат теории степенных рядов, названный в честь норвежского математика Нильса Абеля.

Утверждение

Пусть — степенной ряд с комплексными коэффициентами и радиусом сходимости .

Если ряд является сходящимся, тогда:

Доказательство

Заменой переменных , можно считать . Также (необходимым подбором ) можно предположить . Обозначим частичные суммы ряда . Согласно предположению и нужно доказать, что .

Рассмотрим . Тогда (приняв ):

Отсюда получается .

Для произвольного существует натуральное число , что для всех , поэтому:

Правая часть стремится к когда стремится к 1, в частности она меньше при следовании к 1.

Примеры

Примеры 1

Возьмем . Поскольку ряд сходится, имеем:

Примеры 2

Возьмем . Поскольку ряд сходится, имеем:

Ссылки

• Abel summability (англ.) на сайте PlanetMath. (a more general look at Abelian theorems of this type)
• Weisstein, Eric W. Abel's Convergence Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.