В теории категорий строгий функтор (соотв. полный функтор) — это фуктор, который инъективен (соотв. сюръективен) на каждом множестве морфизмов с фиксированными образом и прообразом.

Более явно, пусть у нас есть локально малые категории C и D и пусть F : C → D — функтор из C в D. Этот функтор индуцирует функцию

для каждой пары объектов X и Y из C. Функтор F называется

• строгим, если функция F_X,Y инъективна^[1][2]
• полным, если F_X,Y сюръективна^[2][3]
• вполне строгим, если F_X,Y биективна

для каждых X и Y в C.

Строгий функтор не обязательно инъективен на объектах категории C, поэтому образ вполне строгого функтора не обязан быть категорией, изоморфной C. Аналогично, полный функтор не обязательно сюръективен на объектах. Однако вполне строгий функтор инъективен на объектах с точностью до изоморфизма, то есть если F : C → D является вполне строгим и , то .

Примеры

• Забывающий функтор U : Grp → Set является строгим, так как гомоморфизм групп однозначно определяется функцией на множествах-носителях. Категория со строгим функтором в Set называется конкретной категорией.
• Функтор, вкладывающий Ab в Grp вполне строг.

См. также

• Полная подкатегория
• Эквивалентность категорий

Примечания

Литература

• Mac Lane Saunders Categories for the Working Mathematician. — second. — Springer, 1998. — ISBN 0-387-98403-8
• Jacobson Nathan Basic algebra. — 2nd. — Dover, 2009. — Vol. 2. — ISBN 978-0-486-47187-7