Средним геометрическим нескольких положительных вещественных чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось. Более формально:

Среднее геометрическое двух чисел также называется их средним пропорциональным^[1].

Свойства

• Так же, как и любое другое среднее значение, с.г. лежит между минимумом и максимумом из всех чисел:

• Среднее геометрическое двух чисел является средним арифметическим-гармоническим этих чисел, то есть равно пределу двух последовательностей:

• Среднее геометрическое двух чисел равно среднему геометрическому их среднего арифметического и среднего гармонического^[2].

Среднее геометрическое взвешенное

Среднее геометрическое взвешенное набора вещественных чисел с вещественными весами определяется как

В том случае, если все веса равны между собой, среднее геометрическое взвешенное равно среднему геометрическому.

В геометрии

Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу, а каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.

Это даёт геометрический способ построения среднего геометрического двух (длин) отрезков: нужно построить окружность на сумме этих двух отрезков как на диаметре, тогда высота, восставленная из точки их соединения до пересечения с окружностью, даст искомую величину.

На рисунке :

Обобщения

• Среднее геометрическое можно рассматривать как предел средних степенных при .
• Среднее геометрическое является средним Колмогорова при

См. также

• Среднее арифметическое
• Среднее квадратическое
• Среднее значение
• Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим
• Неравенство Швейцера

Примечания