Сходи́мость по распределе́нию в теории вероятностей — вид сходимости случайных величин.

Определение

Пусть дано вероятностное пространство и определённые на нём случайные величины . Каждая случайная величина индуцирует вероятностную меру на , называемую её распределением.

Случайные величины сходятся по распределению к случайной величине , если распределения слабо сходятся к распределению , то есть

для любой непрерывной ограниченной^[1][2] функции .

Замечания

• Пользуясь теоремой о замене меры в интеграле Лебега, последнее равенство может быть переписано следующим образом:

.

• Предел по распределению не единственен. Если распределения двух случайных величин идентичны, то они одновременно являются или не являются пределом по распределению последовательности случайных величин.

Свойства сходимости по распределению

• Случайные величины сходятся по распределению к , если их функции распределения сходятся к функции распределения предела во всех точках непрерывности последней:

.

• Если все случайные величины в определении дискретны, то тогда и только тогда, когда имеется сходимость функций вероятности:

.

• Если все случайные величины в определении абсолютно непрерывны, и их плотности сходятся:

почти всюду,

то . Обратное, вообще говоря, неверно!

• Сходимость по вероятности (а следовательно и сходимости почти наверное и в ) влечёт сходимость по распределению:

.

Обратное, вообще говоря, неверно.

См. также

• Теорема Слуцкого

Примечания