Ряд Лорана — двусторонне бесконечный степенной ряд по целым степеням , то есть ряд вида

Этот ряд понимается как сумма двух рядов:

1.  — положительная часть ряда Лорана (иногда называется правильной) и
2.  — отрицательная часть ряда Лорана (иногда называется главной).

При этом ряд Лорана считается сходящимся тогда и только тогда, когда сходятся его правильная и главная части. Термин назван в честь французского математика П. А. Лорана.

Свойства

• Если внутренность области сходимости ряда Лорана непуста, то она представляет собой круговое кольцо

• Во всех точках своего кольца сходимости ряд Лорана сходится абсолютно;
• Как и для степенных рядов, поведение ряда Лорана в точках граничных окружностей кольца сходимости может быть самым разнообразным;
• На любом компактном подмножестве ряд сходится равномерно;
• Сумма ряда Лорана в есть аналитическая функция ;
• Ряд Лорана можно дифференцировать и интегрировать в почленно;
• Разложение в ряд Лорана единственно, то есть если суммы двух рядов Лорана совпадают в , то совпадают и все коэффициенты этих рядов.
• Коэффициенты ряда Лорана определяются через его сумму формулами

где , ,  — любая окружность с центром a, расположенная внутри кольца сходимости.

Теорема Лорана

Применение рядов Лорана основано главным образом на следующей теореме Лорана:

Любая однозначная аналитическая функция в кольце представима в сходящимся рядом Лорана.

В частности, в проколотой окрестности

изолированной особой точки однозначная аналитическая функция представима рядом Лорана, который служит основным инструментом исследования её поведения в окрестности изолированной особой точки.

Тип особой точки определяется главной частью ряда Лорана в кольце с центром в этой точке:

• Устранимая особая точка — главная часть ряда Лорана равна 0.
• Полюс — главная часть содержит конечное число ненулевых членов.
• Существенно особая точка — главная часть содержит бесконечное число ненулевых членов.

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
• Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.-Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
• Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.