Ро́тор, или вихрь — векторный дифференциальный оператор над векторным полем.
Обозначается
Результат действия этого оператора на конкретное векторное поле F называется ротором поля F или, короче, просто ротором F и представляет собой новое векторное[2] поле:
Поле rot F (длина и направление вектора rot F в каждой точке пространства) характеризует в некотором смысле[3] вращательную составляющую поля F соответственно в каждой точке.
Содержание |
Если v(x,y,z) - поле скорости движения газа (или течения жидкости), то rot v - вектор, пропорциональный вектору угловой скорости очень маленькой и лёгкой пылинки (или шарика), находящегося в потоке (и увлекаемого движением газа или жидкости; хотя центр шарика можно при желании закрепить, лишь бы он мог вокруг него свободно вращаться).
Конкретно rot v = 2 ω, где ω - эта угловая скорость.
Эта аналогия может быть сформулирована вполне строго (см. ниже). Основное определение через циркуляцию (данное в следующем параграфе) можно считать эквивалентным полученному таким образом.
Ротор векторного поля — есть вектор, проекция которого на каждое направление n есть предел отношения циркуляции векторного поля по контуру L, являющемуся краем плоской площадки ΔS, перпендикулярной этому направлению, к величине этой площадки, когда размеры площадки стремятся к нулю, а сама площадка стягивается в точку:
Направление обхода контура выбирается так, чтобы, если смотреть в направлении , контур L обходился по часовой стрелке[4].
В трёхмерной декартовой системе координат ротор (в соответствии с определением выше) вычисляется следующим образом (здесь F - обозначено некое векторное поле с декартовыми компонентами , а - орты декартовых координат):
или
(что можно считать альтернативным определением, по сути совпадающим с определением в начале параграфа, по крайней мере при условии дифференцируемости компонент поля).
Для удобства можно формально представлять ротор как векторное произведение оператора набла (слева) и векторного поля:
(Последнее равенство формально представляет векторное произведение как определитель).
Векторное поле, ротор которого равен нулю в любой точке, называется безвихревым и является потенциальным. Поскольку эти условия являются друг для друга необходимыми и достаточными, оба термина являются практическими синонимами. (Впрочем, это верно только для случая полей, определённых на односвязной области).
Чуть подробнее о взаимной обусловленности потенциальности и безвихревого характера поля - см. ниже (Основные свойства).
Напротив, поле, ротор которого не равен нулю, называется обычно вихревым, такое поле не может быть потенциальным.
Наиболее прямое обобщение ротора применительно к векторным (и псевдовекторным) полям, определённым на пространствах произвольной размерности (при условии совпадения размерности пространства с размерностью вектора поля) такое
...
или
при индексах m и n от 1 до размерности пространства.
Это же может быть записано как внешнее произведение:
По теореме Коши-Гельмгольца распределение скоростей сплошной среды вблизи точки О задаётся уравнением
где — вектор углового вращения элемента среды в точке О, а — квадратичная форма от координат — потенциал деформации элемента среды.
Таким образом, движение сплошной среды вблизи точки О складывается из поступательного движения (вектор ), вращательного движения (вектор ) и потенциального движения — деформации (вектор ). Применяя к формуле Коши—Гельмгольца операцию ротора, получим, что в точке О справедливо равенство и, следовательно, можно заключить, что когда речь идет о векторном поле, являющемся полем скоростей некоторой среды, ротор этого векторного поля в заданной точке равен удвоенному вектору углового вращения элемента среды с центром в этой точке.
В качестве интуитивного образа, как это описано выше, здесь можно использовать представление о вращении брошенной в поток маленькой пылинки (увлекаемой потоком с собой, без его заметного возмущения) или о вращении помещённого в поток с закреплённой осью маленького (без инерции, вращаемого потоком, заметно не искажая его) колеса с прямыми (не винтовыми) лопастями. Если то или другое при взгляде на него вращается против часовой стрелки, то это означает, что вектор ротора поля скорости потока в данной точке имеет положительную проекцию в направлении на нас.
для любых векторных полей F и G и для любых постоянных чисел a и b.
или
При этом верно и обратное: если поле F бездивергентно, оно вихрь некоторого поля G (векторного потенциала):
Верно и обратное: если поле безвихревое, то оно потенциально:
для некоторого скалярного поля (то есть найдется такое , что F будет его градиентом).
Циркуляция вектора по замкнутому контуру, являющемуся границей некоторой поверхности, равна потоку ротора этого вектора через эту поверхность:
Частный случай теоремы Стокса для плоской поверхности - содержание теоремы Грина.
Все определения ротора, о которых будет говориться в данном параграфе полностью эквивалентны (по крайней мере для случая дифференцируемого векторного поля), и в качестве основного, в принципе, можно выбрать любое из них. Остальные тогда оказываются формулами, которые могут быть более удобны в том или ином случае.
Прежде всего, перечислим явно те варианты, которые уже упоминались в статье выше и могут при желании каждое играть роль определения ротора.
Кроме них полезно упомянуть:
Удобным общим выражение ротора, пригодным для произвольных криволинейных координат в трехмерном[6] пространстве является выражение с использованием тензора Леви-Чивиты:
Используя верхние и нижние индексы и правило суммирования Эйнштейна:
где - координатная запись тензора Леви-Чивиты, включая множитель - метрический тензор в представлении с верхними индексами,
Это выражение при желании может быть также переписано, например, в виде:
итд.
где Hi — коэффициенты Ламе.
Рассмотрим векторное поле F, зависящее от координат x и y так:
Вычислим ротор:
Как и предположили, направление совпало с отрицательным направлением оси z. В данном случае ротор оказался константой, то есть поле оказалось однородным, не зависящим от координат (что естественно для вращения твёрдого тела). Что замечательно,
Угловая скорость вращения в данном примере одна и та же в любой точке пространства (угол поворота пылинки, приклеенной к твердому телу не зависит от того места, где именно приклеить пылинку). График ротора F поэтому не слишком интересен:
Теперь рассмотрим несколько более сложное векторное поле[7]:
Его график:
Мы можем не увидеть никакого вращения, но, посмотрев повнимательнее направо, мы видим большее поле в, например, точке x=4, чем в точке x=3. Если бы мы установили маленькое колесо с лопастями там, больший поток на правой стороне заставил бы колесо вращаться по часовой стрелке, что соответствует ввинчиванию в направлении -z. Если бы мы расположили колесо в левой части поля, больший поток на его левой стороне заставил бы колесо вращаться против часовой стрелки, что соответствует ввинчиванию в направлении +z. Проверим нашу догадку с помощью вычисления:
Действительно, ввинчивание происходит в направлении +z для отрицательных x и -z для положительных x, как и ожидалось. Так как этот ротор не одинаков в каждой точке, его график выглядит немного интереснее:
Можно заметить, что график этого ротора не зависит от y или z (как и должно быть) и направлен по -z для положительных x и в направлении +z для отрицательных x.
Рассмотрим пример ∇ × [ v × F ]. Используя прямоугольную систему координат, можно показать, что
Если v и ∇ поменять местами:
что является фейнмановской записью с нижним индексом ∇F, что значит, что градиент с индексом F относится только к F.
Другой пример ∇ × [ ∇ × F ]. Используя прямоугольную систему координат, можно показать, что:
что можно считать частным случаем первого примера с подстановкой v → ∇.
Довольно важно иметь в виду, что в принципе (хотя и далеко не всегда) направление ротора может не соответствовать направлению вращения поля (будем говорить для конкретности о поле скоростей жидкости), которое кажется очевидным по направлению искривления линий тока. Он может даже иметь противоположное направление (а в частном случае ротор может оказаться равным нулю, хотя линии тока загибаются или даже представляют собой точные окружности).
Дело в том, что ротор может быть представлен как сумма двух слагаемых, одно из которых завивит от кривизны линий тока, а второе от завивимости скорости течения от перпендикулярной (в данной точке) скорости течения координаты.
Рассмотрим частный, но хорошо иллюстрирующий сказанное пример. Пусть поле скорости течения жидкости v таково, что на любом фиксированном расстоянии r от некоторого фиксированного центра (поместим туда для удобства и начало координат) - жидкость течет точно по окружности с центром в начале координат и радиусом r (будем для краткости говорить в двумерных терминах; для перехода к трехмерной формулировке этого примера надо заменить слово "центр" на слово "ось").
Пусть скорость движения по каждой такой окружности (равная абсолютной величине вектора v) зависит только от r :
Пусть направление вращения - против часовой стрелки (угловая скорость - вдоль оси z).
Нам будет досаточно вычислить ротор только вдоль оси x. Для этого выразим v (его компоненты) через координаты вблизи оси x.
(Учитывая то, что вблизи оси x можем считать, что координата y << x, а при дифференцировании нам нужен будет только первый порядок, мы отбросили всё, меньшее y/x, и воспользовались тем, что вследствии этого x≈r).
Вычислим теперь прямо компоненту ротора на ось z:
что даст, если подставить сюда приведённые выше,
Отсюда видно, что
Таким образом, мы видим, что в принципе просто из того, куда закручены линии тока не очевидно, куда направлен ротор такого течения. То есть не очевидно, в какую сторону будут вращаться пылинки в таком потоке. Зато достаточно ясно, что если где-то есть очень резкое убывание v(r), то направление ротора в этом месте будет направоено против того, которое соответствует направлению закручивания линий тока.
Этот частный пример означает, что и в общем случае однозначной связи между направлением закручивания линий поля и направлением вектора его ротора - нет.
Необходимо однако сделать две оговорки:
Ротор (математика).