Подобие — преобразование евклидова пространства, при котором для любых двух точек , и их образов , имеет место соотношение , где — положительное число, называемое коэффициентом подобия.
Примеры
- Каждая гомотетия является подобием.
- Каждое движение (в том числе и тождественное) также можно рассматривать как преобразование подобия с коэффициентом .
Подобные фигуры на рисунке имеют одинаковые цвета.
Связанные определения
- Фигура называется подобной фигуре , если существует преобразование подобия, при котором .
Свойства
- Подобие есть взаимно однозначное отображение евклидова пространства на себя.
- Подобие сохраняет порядок точек на прямой, то есть если точка лежит между точками , и , , — соответствующие их образы при некотором подобии, то также лежит между точками и .
- Точки, не лежащие на прямой, при любом подобии переходят в точки, не лежащие на одной прямой.
- Подобие преобразует прямую в прямую, отрезок в отрезок, луч в луч, угол в угол, окружность в окружность.
- При подобии угол сохраняет величину.
- Подобие с коэффициентом , преобразующее каждую прямую в параллельную ей прямую, является гомотетией с коэффициентом или .
- Каждое подобие можно рассматривать как композицию движения и некоторой гомотетии с положительным коэффициентом.
- Подобие называется собственным (несобственным), если движение является собственным (несобственным). Собственное подобие сохраняет ориентацию фигур, а несобственное — изменяет ориентацию на противоположную.
- Два треугольника являются подобными, если
- Площади подобных фигур пропорциональны квадратам их сходственных линий (например, сторон). Так, площади кругов пропорциональны отношению квадратов их диаметров (или радиусов).
Обобщения
Аналогично определяется подобие (с сохранением указанных выше свойств) в 3-мерном евклидовом пространстве, а также в n-мерном евклидовом и псевдоевклидовом пространствах.
В метрических пространствах так же, как в -мерных римановых, псевдоримановых и финслеровых пространствах подобие определяется как преобразование, переводящее метрику пространства в себя с точностью до постоянного множителя.
Совокупность всех подобий n-мерного евклидова, псевдоевклидова, риманова, псевдориманова или финслерова пространства составляет -членную группу преобразований Ли, называемой группой подобных (гомотетических) преобразований соответствующего пространства. В каждом из пространств указанных типов -членная группа подобных преобразований Ли содержит -членную нормальную подгруппу движений.
См. также
Ссылки
- Равенство и подобие геометрических фигур
