Selhoz-katalog.ru

Сельхоз каталог

Подобие

Подобие — преобразование евклидова пространства, при котором для любых двух точек , и их образов , имеет место соотношение , где  — положительное число, называемое коэффициентом подобия.

Содержание

Примеры

  • Каждая гомотетия является подобием.
  • Каждое движение (в том числе и тождественное) также можно рассматривать как преобразование подобия с коэффициентом .
Подобные фигуры на рисунке имеют одинаковые цвета.

Связанные определения

Свойства

  • Подобие есть взаимно однозначное отображение евклидова пространства на себя.
  • Подобие сохраняет порядок точек на прямой, то есть если точка лежит между точками , и , ,  — соответствующие их образы при некотором подобии, то также лежит между точками и .
  • Точки, не лежащие на прямой, при любом подобии переходят в точки, не лежащие на одной прямой.
  • Подобие преобразует прямую в прямую, отрезок в отрезок, луч в луч, угол в угол, окружность в окружность.
  • При подобии угол сохраняет величину.
  • Подобие с коэффициентом , преобразующее каждую прямую в параллельную ей прямую, является гомотетией с коэффициентом или .
    • Каждое подобие можно рассматривать как композицию движения и некоторой гомотетии с положительным коэффициентом.
    • Подобие называется собственным (несобственным), если движение является собственным (несобственным). Собственное подобие сохраняет ориентацию фигур, а несобственное — изменяет ориентацию на противоположную.
  • Два треугольника являются подобными, если
  • Площади подобных фигур пропорциональны квадратам их сходственных линий (например, сторон). Так, площади кругов пропорциональны отношению квадратов их диаметров (или радиусов).

Обобщения

Аналогично определяется подобие (с сохранением указанных выше свойств) в 3-мерном евклидовом пространстве, а также в n-мерном евклидовом и псевдоевклидовом пространствах.

В метрических пространствах так же, как в -мерных римановых, псевдоримановых и финслеровых пространствах подобие определяется как преобразование, переводящее метрику пространства в себя с точностью до постоянного множителя.

Совокупность всех подобий n-мерного евклидова, псевдоевклидова, риманова, псевдориманова или финслерова пространства составляет -членную группу преобразований Ли, называемой группой подобных (гомотетических) преобразований соответствующего пространства. В каждом из пространств указанных типов -членная группа подобных преобразований Ли содержит -членную нормальную подгруппу движений.

См. также

Ссылки

  • Равенство и подобие геометрических фигур

Подобие.

© 2021–2023 selhoz-katalog.ru, Россия, Тула, ул. Октябр 53, +7 (4872) 93-16-24