Передаточная функция — один из способов математического описания динамической системы. Используется в основном в теории управления, связи, цифровой обработке сигналов. Представляет собой дифференциальный оператор, выражающий связь между входом и выходом линейной стационарной системы. Зная входной сигнал системы и передаточную функцию, можно восстановить выходной сигнал.

В теории управления передаточная функция непрерывной системы представляет собой отношение преобразования Лапласа выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала при нулевых начальных условиях.

Линейные стационарные системы

Пусть  — входной сигнал линейной стационарной системы, а  — её выходной сигнал. Тогда передаточная функция такой системы записывается в виде:

,

где и  — преобразования Лапласа для сигналов и соответственно:

,

.

Дискретная передаточная функция

Для дискретных и дискретно-непрерывных систем вводится понятие дискретной передаточной функции. Пусть  — входной дискретный сигнал такой системы, а  — её дискретный выходной сигнал, . Тогда передаточная функция такой системы записывается в виде:

,

где и  — z-преобразования для сигналов и соответственно:

,

.

Связь с другими динамическими характеристиками

• АФЧХ системы можно получить из передаточной функции с помощью формальной замены комплексной переменной на :

.

• Импульсная переходная функция является оригиналом (в смысле преобразования Лапласа) для передаточной функции.

Свойства передаточной функции

1. Для стационарных объектов с сосредоточенными параметрами передаточная функция — это дробно-рациональная функция комплексной переменной ():

.

2. Знаменатель передаточной функции — это характеристический полином системы. Полюсы передаточной функции — это корни соответствующего характеристического полинома.

3. В физически реализуемых системах порядок числителя передаточной функции не может превышать порядка её знаменателя .

4. Импульсная переходная функция представляет собой оригинал (преобразования Лапласа) для передаточной функции.

Матричная передаточная функция

Для MIMO-систем вводится понятие матричной передаточной функции. Матричная передаточная функция от вектора входа системы до вектора выхода  — это матрица , элемент -й строки -го столбца представляет собой передаточную функцию системы от -й координаты вектора входа системы до -й координаты вектора выхода.

См. также

• ЛАФЧХ
• Частотный отклик
• АФЧХ
• Билинейное преобразование

Ссылки

• Передаточная функция
• Программа преобразования передаточной функции в разностное уравнение