Непреры́вное отображе́ние или непрерывная функция в математике — это отображение из одного пространства в другое, при котором близкие точки области определения переходят в близкие точки области значений.

Наиболее общее определение формулируется для отображений топологических пространств: непрерывным считается отображение, при котором прообраз всякого открытого множества открыт. Непрерывность отображений других типов пространств — метрических, нормированных и т. п. пространств — является непосредственным следствием общего (топологического) определения, но формулируется с использованием структур, заданных в соответствующих пространствах — метрики, нормы и т. д.

В математическом анализе и комплексном анализе, где рассматриваются числовые функции и их обобщения на случай многомерных пространств, непрерывность функции вводится на языке пределов: такие определения непрерывности были исторически первыми и послужили основой для формирования общего понятия.

Существование непрерывных отображений между пространствами, позволяет «переносить» свойства одного пространства в другое: например, непрерывный образ компактного пространства также является компактным.

Непрерывное отображение, которое обладает обратным и также непрерывным отображением, называется гомеоморфизмом. Гомеоморфизм порождает на классе топологических пространств отношение эквивалентности; пространства, гомеоморфные друг другу, обладают одними и теми же топологическими свойствами, а сами свойства, которые сохраняются при гомеоморфизмах, называются топологическими инвариантами.

Определения

Наиболее общее определение даётся в топологии.

Непрерывность в топологических пространствах

Отображение топологического пространства в топологическое пространство называется непрерывным, если прообраз любого открытого множества открыт, то есть:

.

Непрерывность на подпространстве

Если рассмотреть некоторое подмножество множества , то на этом множестве, естественным образом, индуцируется топология , которую составляют всевозможные пересечения множества с множествами, входящими в топологию .

Отображение , непрерывное на множестве , будет непрерывным на любом его подмножестве в смысле индуцированной на нём топологии.

Непрерывность в точке

Непрерывность в точке формулируется на языке окрестностей и связывает систему окрестностей точки области определения с системой окрестностей соответствующей ей точки области значений.

Отображение называется непрерывным в точке , если для любой окрестности точки найдется такая окрестность точки , что .

Отображение, непрерывное на некотором множестве, будет непрерывным в каждой точке данного множества.^[1]

Эквивалентные определения

Следующие ниже формулировки эквивалентны:

• прообраз всякого открытого множества открыт;
• прообраз всякого замкнутого множества замкнут;
• прообраз каждой окрестности точки области значений отображения является окрестностью соответствующей точки области определения;
• предел значений последовательности точек области определения, сходящейся к некоторой точке, существует и в точности равен значению функции в данной точке;
• образ замыкания любого множества содержится в замыкании образа этого множества;
• замыкание прообраза любого множества содержится в прообразе замыкания.

Таким образом, каждая из этих формулировок может быть использована в качестве определения непрерывности отображения.

Непрерывность в метрических и нормированных пространствах

В метрических пространствах топология задается семейством открытых шаров разных «радиусов», определяемых метрикой, поэтому общее определение формулируется в терминах этой метрики ("эпсилон-дельта" - определение):

Отображение метрического пространства в метрическое пространство называется непрерывным в точке , если для всякого существует , что для всякого , такого, что , выполняется неравенство: .

Для линейных нормированных пространств (включая, гильбертовы и конечномерное евклидовы пространства) метрика задается нормой, поэтому то же определение дается в терминах нормы.

Пусть, отображение между нормированными пространствами с нормами и соответственно. Функция непрерывна в точке , если для любого числа найдётся такое число , что для всех точек , таких что выполнено неравенство ,

Метрические пространства (а значит и нормированные пространства) удовлетворяют первой аксиоме счетности, поэтому данное определение эквивалентно определению секвенциальной непрерывности.

Непрерывные функции (функционалы)

В случае числовой оси нормой обычно является модуль числа, поэтому определение непрерывности функционала (или .), где - произвольное топологическое пространство, следующее:

Фунционал , называется непрерывным в точке , если для любого найдется окрестность этой точки, такая, что выполнено условие .

Множество непрерывных на функционалов (функций) принято обозначать . Частным случаем непрерывных функционалов являются непрерывные функции числового аргумента.

Непрерывная числовая функция

Пусть, . (или .). Функция непрерывна в точке , если для любого числа найдётся такое число , что для всех точек условие влечет .

Другими словами, функция непрерывна в точке , предельной для множества , если она имеет предел в данной точке и этот предел совпадает со значением функции в данной точке:

Функция непрерывна на множестве , если она непрерывна в каждой точке данного множества. В этом случае говорят, что функция класса и пишут: или, подробнее, .

Свойства непрерывных отображений

• Полный прообраз любого открытого (замкнутого) множества при непрерывном отображении — открытое (замкнутое) множество

• Образ компактного множества при непрерывном отображении — компактное множество.

• Непрерывная числовая функция на компактном множестве ограничена и достигает своих верхней и нижней граней. Это свойство следует из предыдущего.

• Образ связного множества при непрерывном отображении - связное множество.

• (Теорема Титце.) Любая вещественнозначная непрерывная функция, определённая на замкнутом подмножестве нормального пространства может быть продолжена до непрерывной функции на всё пространство.

• Сумма, разность и композиция непрерывных отображений также являются непрерывными отображениями.
• Из непрерывности линейного отображения одного линейного топологического пространства в другое следует его ограниченность. В случае нормированных пространств непрерывность линейного отображения эквивалентна ограниченности.
• Теорема Стоуна-Вейерштрасса (обобщение классической теоремы Вейерштрасса). Пусть - пространство непрерывных функций на компактном хаусдорфовом топологическом пространстве . Пусть - подмножество , содержащее константы, замкнутое относительно композиции и линейной комбинации функций, а также содержащее пределы своих равномерно сходящихся последовательностей функций. В таком случае тогда и только тогда, когда , существует , такая что .

Связанные определения

• Гомеоморфизм - непрерывное взаимно-однозначное отображение одного топологического пространства в другое с также непрерывным обратным отображением.
• Равномерная непрерывность

См. также

• Пространство непрерывных функций
• Линейный непрерывный оператор
• Предел функции
• Общая топология
• Топологическое пространство
• Открытое отображение
• Равномерная непрерывность

Ссылки

Математические Этюды Мультик про непрерывность

Примечания

Литература

Келли Дж. Л. Глава 3. Произведения и фактор-пространства // Общая топология = General topology. — 2-е изд. — М.: Наука, 1981. — С. 119—151. — 438 с.