Модель Рамсея-Касса-Купманса или модель Рамсея — модель эндогенного экономического роста, в которой «траектория» потребления и сбережений определяются на основе решения задачи оптимизации домашних хозяйств и фирм в условиях совершенной конкуренции.
В модели используется репрезентативное домашнее хозяйство с бесконечной продолжительностью существования. Анализируется динамика его потребительского и сберегательного поведения. Предполагается закрытая экономика с реальными переменными (в единицах товаров и услуг) в условиях совершенной конкуренции.
Рассматривается репрезентативное домашнее хозяйство. Условно предполагается, что решения этого домохозяйства эквивалентны решениям бесконечно живущего индивида, который учитывает текущее и будущее благосостояние и ресурсы. Функция полезности этого индивида, представляющего все население имеет вид:
где — потребление на душу населения в момент времени .
— положительный коэффициент дисконтирования, отражающий межвременные предпочтения индивида.
Функция полезности является сепарабельной, то есть зависит только от потребления в этот момент. Кроме этого, предполагается что предельная полезность (производная u'(c)) является положительной и убывающей функцией и выполнены условия Инада — при стремлении потребления к нулю, предельная полезность стремиться к бесконечности, а при стремлении потребления к бесконечности предельная полезность стремится к нулю.
Доходы «индивида» складываются из заработной платы и доходов от активов , принадлежащих ему и имеющих доходность (активы могут быть также и отрицательными, что отражает ситуацию чистого долга, причем ставка по заемным средствам предполагается одинаковой с доходностью положительных активов). При этом доходы тратятся либо на потребление, либо на увеличение активов (сбережения). Таким образом, увеличение активов в единицу времени равно . Необходимо также учесть, что население растет темпом , поэтому активы на одного человека сокращаются с этим же темпом, то есть скорость изменения активов в каждый момент времени уменьшаются на . Таким образом, окончательно бюджетное ограничение индивида имеет вид
Задача оптимизации поведения потребителя заключается в максимизации при данном ограничении. Используя принцип максимума Понтрягина строится функция Гамильтона
и условия максимума
и
Отсюда несложно вывести уравнение динамики потребления:
где - эластичность предельной полезности по потреблению. Эта величина является положительной в силу положительности предельной полезности и отрицательности второй производной полезности (убывающая предельная полезность).
Для существования стационарного состояния необходимо, чтобы асимптотически стремилась к постоянной величине, поэтому в качестве функции полезности используют функцию следующего вида:
где - постоянная.
Рассматривается репрезентативная фирма, производственная функция которой описывает совокупное предложение. Производственная функция является неоклассической и аналогичной производственной функции в модели Солоу: , где - капитал, - труд, - эффективность труда. Предполагается, что эффективность труда растет с постоянным темпом .
В силу однородности производственной функции можно записать , где - капиталовооруженность труда с постоянной эффективностью. Тогда
,
где в целях упрощения, предполагается, что эффективность труда в нулевой момент времени равна единице, поэтому динамика эффективности труда описывается как .
В условиях совершенной конкуренции предельные производительности по факторам производства равны ценам этих факторов. Цена трудовых ресурсов равна заработной плате , а цена капитала равна , где - темп износа капитала. Тогда
Поскольку рассматривается закрытая экономика, то капитал принадлежит резидентам и удельный капитал на одного работника равен активам .
По аналогии с моделью Солоу можно записать уравнение динамики капиталовооруженности труда с постоянной эффективностью;
где - потребление на единицу труда с постоянной эффективностью.
Учитывая, что , исходя из решения задачи потребителя можно записать следующее уравнение
или с учетом равенства (см. задачу фирмы) подставим выражение через и :
Данное дифференциальное уравнение вместе с дифференциальным уравнением для капиталовооруженности и определяют экономическую динамику в рамках данной модели.
В модели Солоу устанавливается золотое правило сбережений, максимизирующее потребление. В модели Рамсея это правило модифицируется и имеет вид:
что соответствует постоянному потреблению на единицу труда с постоянной эффективностью (или рост потребления на одного человека с темпом ).
Модель Рамсея-Касса-Купманса.