Метод бисекции или метод деления отрезка пополам — простейший численный метод для решения нелинейных уравнений вида f(x)=0. Предполагается только непрерывность функции f(x). Поиск основывается на теореме о промежуточных значениях.

Обоснование

Алгоритм основан на следующем следствии из теоремы Больцано — Коши:

Таким образом, если мы ищем ноль, то на концах отрезка функция должна быть противоположных знаков. Разделим отрезок пополам и возьмём ту из половинок, на концах которой функция по-прежнему принимает значения противоположных знаков. Если значение функции в серединной точке оказалось искомым нулём, то процесс завершается.

Точность вычислений задаётся одним из двух способов:

1. по оси , что ближе к условию из описания алгоритма; или
2. , по оси , что может оказаться удобным в некоторых случаях.

Процедуру следует продолжать до достижения заданной точности.

Для поиска произвольного значения достаточно вычесть из значения функции искомое значение и искать ноль получившейся функции.

Описание алгоритма

Задача заключается в нахождении корней нелинейного уравнения

Для начала итераций необходимо знать отрезок значений , на концах которого функция принимает значения противоположных знаков.

Противоположность знаков значений функции на концах отрезка можно определить множеством способов. Один из множества этих способов — умножение значений функции на концах отрезка и определение знака произведения путём сравнения результата умножения с нулём:

в действительных вычислениях такой способ проверки противоположности знаков при крутых функциях приводит к преждевременному переполнению.

Для устранения переполнения и уменьшения затрат времени, т.е. для увеличения быстродействия, на некоторых программно-компьютерных комплексах противоположность знаков значений функции на концах отрезка нужно определять по формуле:

так как одна операция сравнения двух знаков двух чисел требует меньшего времени, чем две операции: умножение двух чисел (особенно с плавающей запятой и двойной длины) и сравнение результата с нулём. При данном сравнении, значения функции в точках и можно не вычислять, достаточно вычислить только знаки функции в этих точках, что требует меньшего машинного времени.

Из непрерывности функции и условия (2.2) следует, что на отрезке существует хотя бы один корень уравнения (в случае не монотонной функции функция имеет несколько корней и метод приводит к нахождению одного из них).

Найдём значение в середине отрезка:

в действительных вычислениях, для уменьшения числа операций, в начале, вне цикла, вычисляют длину отрезка по формуле:

а в цикле вычисляют длину очередных новых отрезков по формуле: и новую середину по формуле:

Вычислим значение функции в середине отрезка :

• Если или, в действительных вычислениях, , где — заданная точность по оси , то корень найден.
• Иначе или, в действительных вычислениях, , то разобьём отрезок на два равных отрезка: и .

Теперь найдём новый отрезок, на котором функция меняет знак:

• Если значения функции на концах отрезка имеют противоположные знаки на левом отрезке, или , то, соответственно, корень находится внутри левого отрезка . Тогда возьмём левый отрезок присвоением , и повторим описанную процедуру до достижения требуемой точности по оси .
• Иначе значения функции на концах отрезка имеют противоположные знаки на правом отрезке, или , то, соответственно, корень находится внутри правого отрезка . Тогда возьмём правый отрезок присвоением , и повторим описанную процедуру до достижения требуемой точности по оси .

За количество итераций деление пополам осуществляется раз, поэтому длина конечного отрезка в раз меньше длины исходного отрезка.

Существует похожий метод, но с критерием останова вычислений по оси ^[1], в этом методе вычисления продолжаются до тех пор, пока, после очередного деления пополам, новый отрезок больше заданной точности по оси : . В этом методе отрезок на оси может достичь заданной величины , а значения функций (особенно крутых) на оси могут очень далеко отстоять от нуля, при пологих же функциях этот метод приводит к большому числу лишних вычислений.

В дискретных функциях и - это номера элементов массива, которые не могут быть дробными, и, в случае второго критерия останова вычислений, разность не может быть меньше .

Псевдокод

Пусть

• x_n – начало отрезка по х;
• x_k – конец отрезка по х;
• x_i – середина отрезка по х;
• eps_y – требуемая точность вычислений по y (заданное приближение |F(x_i)| к нулю).

Тогда алгоритм метода бисекции можно записать в псевдокоде следующим образом:

1. Начало.
2. Ввод x_n, x_k, eps_y.
3. Если F(x_n) = 0, то Вывод (корень уравнения – x_n).
4. Если F(x_k) = 0, то Вывод (корень уравнения – x_k).
5. dx := x_k - x_n.
6. Пока |F(x_i)| > eps_y повторять:
7. dx := dx / 2;
8. x_i := x_n + dx;
9. если sign(F(x_n)) ≠ sign(F(x_i)), то x_k := x_i;
10. иначе x_n := x_i.
11. конец повторять
12. Вывод (Найден корень уравнения – x_i с точностью по y - eps_y).
13. Конец.

Поиск значения корня монотонной дискретной функции

Поиск наиболее приближённого к корню значения в монотонной дискретной функции, заданной таблично и записанной в массиве, заключается в разбиении массива пополам (на две части), выборе из двух новых частей той части, в которой значения элементов массива меняют знак путем сравнения знаков срединного элемента массива со знаком граничного значения и повторении алгоритма для половины в которой значения элементов массива меняют знак.

Пусть переменные леваяГраница и праваяГраница содержат, соответственно, левую левГран и правую правГран границы массива, в которой находится приближение к корню. Исследование начинается с разбиения массива пополам (на две части) путём нахождения номера среднего элемента массива середина.

Если знаки значений массива массив[леваяГраница] и массив[середина] противоположны, то приближение к корню ищут в левой половине массива, то есть значением праваяГраница становится середина и на следующей итерации исследуется только левая половина массива. Если знаки значений массив[леваяГраница] и массив[середина] одинаковы, то осуществляется переход к поиску приближения к корню в правой половине массива, то есть значением переменной леваяГраница становится середина и на следующей итерации исследуется только правая половина массива. Т.о., в результате каждой проверки область поиска сужается вдвое.

Например, если длина массива равна 1023, то после первого сравнения область сужается до 511 элементов, а после второго — до 255. Т.о. для поиска приближения к корню в массиве из 1023 элементов достаточно 10 проходов (итераций).

Псевдокод:^{[источник не указан 1197 дней]}

леваяГраница = левГран
праваяГраница = правГран
длинаОтрезка = правГран - левГран
while (праваяГраница - леваяГраница > 1) {
   половинаОтрезка = int(длинаОтрезка / 2) 
   середина = леваяГраница + половинаОтрезка
   if (sign(массив[леваяГраница]) ≠ sign(массив[середина]))
      праваяГраница = середина
   else
      леваяГраница = середина
}
printf середина

См. также

• Линейный поиск
• Двоичный поиск
• Метод дихотомии
• Метод золотого сечения
• Троичный поиск
• Метод Ньютона

Примечания