Интегральный логарифм — специальная функция, определяемая интегралом

Для устранения сингулярности при иногда применяется сдвинутый интегральный логарифм:

Это две функции связаны соотношением:

Интегральный логарифм введён Леонардом Эйлером в 1768 году.

Интегральный логарифм и интегральная показательная функция связаны соотношением:

Интегральный логарифм имеет единственный положительный ноль в точке (число Рамануджана — Солднера).

Разложение в ряд

Из тождества, связывающего и следует ряд:

где  — постоянная Эйлера — Маскерони.

Быстрее сходится ряд, выведенный Сринивасой Рамануджаном:

Интегральный логарифм и распределение простых чисел

Интегральный логарифм играет важную роль в исследовании распределения простых чисел. Он представляет собой гораздо лучшее приближение к числу простых чисел, не превосходящих заданного числа, чем :

Для не слишком больших , однако доказано, что при некотором достаточно большом неравенство меняет знак. Это число называется числом Скьюза и в настоящее время для этого числа найдена оценка сверху .

Литература

• Математический энциклопедический словарь. — М., 1995. — с. 238.