Комплексная амплитуда входного напряжения, комплексная амплитуда тока im j1 ма мгновенное значение тока i t равно, комплексная амплитуда напряженности магнитного поля

Компле́ксная амплитуда — комплексная величина, модуль и аргумент которой равны соответственно амплитуде и начальной фазе гармонического сигнала.

Содержание

1 Определение
2 Физический смысл
- 2.1 Алгебраическая форма
- 2.2 Тригонометрическая форма
3 Операции над комплексной амплитудой
4 Ограничения
5 Применение
6 См. также

Определение

Пусть, имеется гармонический сигнал:

$a(t) = A \cos {(\omega t + \phi)}$

((1))

Над сигналами, записанными в подобной форме, тяжело производить такие арифметические операции, как сложение двух сигналов, вычитание из одного сигнала другого сигнала, умножение сигнала на константу. С целью облегчения этих операций гармонические сигналы представляют в виде комплексного числа, модуль которого равен амплитуде сигнала, а угол - фазе сигнала. При этом оригинальный сигнал равен действительной части данного комплексного числа:

$\hat a(t)\; = A e^{i(\omega t + \phi)} = A e^{i\phi} e^{i \omega t} = \hat A\; e^{i \omega t}$

( )

здесь комплексной амплитудой гармонического сигнала является следующее выражение:

$\hat A\; = A e^{i\phi}$

( )

Физический смысл

Алгебраическая форма

Если рассматривать комплексную амплитуду как комплексное число в алгебраической форме, то действительная часть соответствует амплитуде косинусной (синфазной) компоненты, а мнимая — амплитуде синусной (квадратурной) компоненты исходного сигнала. Так, для сигнала (1) имеем:

$a(t) = \Re(\hat A\;) \cos {(\omega t)} - \Im(\hat A\;) \sin {(\omega t)}$

( )

где

$\Re(\hat A\;) = A\cos {(\phi)}, \quad \Im(\hat A\;) = A\sin {(\phi)}$

( )

Тригонометрическая форма

Если рассматривать комплексную амплитуду как комплексное число в тригонометрической форме, то модуль соответствует амплитуде исходного гармонического сигнала, а аргумент — сдвигу фазы исходного гармонического сигнала относительно сигнала .

Операции над комплексной амплитудой

К сигналам в пространстве комплексных амплитуд могут быть применены линейные операции. Другими словами, перечисленные ниже операции над комплексными амплитудами:

умножение комплексной амплитуды на константу
сложение комплексных амплитуд (соответствующих одной и той же частоте)
вычитание комплексных амплитуд (соответствующих одной и той же частоте)
интегрирование комплексной амплитуды по времени
дифференцирование комплексной амплитуды по времени

приводят к такому же результату, как если бы они были проделаны над соответствующими гармоническими сигналами, а затем от них взята комплексная амплитуда.

Ограничения

Несмотря на то, что в выражение для комплексной амплитуды не входит частота ω гармонического сигнала, следует помнить, что комплексная амплитуда описывает гармонический сигнал конкретной частоты. Поэтому в пространстве комплексных амплитуд недопустимы операции, которые:

принимают в качестве операндов комплексные амплитуды, описывающие гармонические сигналы разных частот.
меняют частоту гармонического сигнала или порождают новые частоты (все нелинейные операции, например, перемножение двух сигналов).

Применение

Комплексная амплитуда является полным и очень удобным способом описания гармонических сигналов, поскольку:

Характеризует и амплитуду, и фазу
Не содержит зависимости от времени
Позволяет использовать векторные диаграммы для анализа цепей на переменном токе

Использование комплексной амплитуды и импедансов позволяет свести задачу прохождения гармонического сигнала через линейную цепь (описывается системой дифференциальных уравнений) к более простой задаче, эквивалентной анализу цепи из резисторов на постоянном токе (описывается системой алгебраических уравнений).

См. также

Метод комплексных амплитуд

Комплексная амплитуда входного напряжения, комплексная амплитуда тока im j1 ма мгновенное значение тока i t равно, комплексная амплитуда напряженности магнитного поля.

Selhoz-katalog.ru

Сельхоз каталог

Обзоры