Тео́рия Я́нга — Ми́ллса — калибровочная теория с неабелевой калибровочной группой. Калибровочные поля в этой теории называются полями Янга — Миллса. Такие теории были предложены в 1954 году Чж. Янгом и Р. Миллсом^[1], однако некоторое время рассматривались лишь как математические изыски, не имеющие отношения к реальности.^[2] Несмотря на это, именно на основе теорий Янга — Миллса в 1960—1970-х годах были созданы две краеугольные теории Стандартной модели в физике элементарных частиц: квантовая хромодинамика (теория сильных взаимодействий) на основе группы SU(3) и теория электрослабых взаимодействий на основе группы SU(2).

Характерные свойства теорий Янга — Миллса

• Неабелевость группы означает, что поля-переносчики взаимодействий Янга — Миллса могут взаимодействовать сами с собой и друг с другом. Это влечёт за собой то, что уравнения, описывающие эволюцию полей Янга — Миллса, являются нелинейными (в противоположность линейным уравнениям Максвелла, отвечающим абелевой теории). Можно также сказать, что для полей Янга — Миллса не выполняется принцип суперпозиции.
• Кванты полей Янга — Миллса являются векторными частицами (то есть бозонами со спином 1) и обладают нулевой массой. Однако с помощью механизма спонтанного нарушения симметрии физические поля Янга — Миллса могут приобретать ненулевую массу.
• Нелинейность уравнений Янга — Миллса делает их очень сложными для решения. В режиме малой константы связи эти уравнения удается решить приближенно в виде ряда теории возмущений, однако как решить эти уравнения в режиме сильной связи, пока неизвестно. Неизвестно также, как именно эта нелинейность приводит к наблюдаемому в нашем мире конфайнменту в сильных взаимодействиях. Проблема решения уравнений Янга — Миллса в общем случае является одной из семи математических «Проблем тысячелетия», за решение любой из которых Математический институт Клэя^[3] присудит премию в 1 миллион долларов США.

Математика

Теории Янга — Миллса — специальный пример калибровочной теории поля с неабелевой калибровочной группы симметрий. Лагранжиан свободного поля Янга — Миллса таких теорий имеет определённый вид

где F — 2-форма напряжённости поля Янга — Миллса, остающаяся инвариантной при воздействии на вектор-потенциал калибровочной группы:

где под понимается ковариантная производная в пространстве-времени, в пространстве Минковского в галилеевых координатах сводящаяся к обычной частной производной.

Генераторы алгебры Ли калибровочной группы удовлетворяют соотношению

где называются структурными константами группы.

Ковариантные (иногда называемые удлинёнными) производные полей, взаимодействующих через поля Янга — Миллса данной теории, определены как

где  — единичный оператор, а  — это константа взаимодействия. В четырехмерном пространстве-времени константа взаимодействия  — это безразмерная величина. Для SU(N) групп

Вышеприведённое определение может быть получено, исходя из коммутатора

Само поле Янга — Миллса оказывается при этом самодействующим, а получающиеся уравнения движения

называются полулинейными. В случае малой константы связи в данной теории применима теория возмущений.

Отметим, что переход между «верхним» («контравариантным») и «нижним» («ковариантным») векторными или тензорными компонентами тривиальны для групповых латинских индексов (например, , в групповом пространстве введена евклидова метрика), но нетривиальны для пространственно-временных греческих индексов, которые жонглируются метрикой пространства-времени, в простейшем случае — обычной метрикой Лоренца .

С введением , уравнения движения можно переписать так

Так как F — 2-форма, то выполняется тождество Бьянки

Источник входит в уравнения движения как

Обратите внимание, что токи тоже должны правильно меняться при калибровочных преобразованиях.

Приведем здесь некоторые комментарии по поводу физической размерности константы связи. Отметим, что в D измерениях пространства-времени поле масштабируется как и, таким образом, взаимодействие должно иметь размерность . Это означает, что теории Янга — Миллса не перенормируемы для размерностей пространства-времени больше, чем четыре (см. также Антропный принцип). Кроме того, отметим, что для константа связи безразмерна, а поле и квадрат константы взаимодействия имеют одинаковые размерности с полем и константой взаимодействия теории скалярного безмассового поля с самодействием . Таким образом, эти теории имеют одинаковую масштабную инвариантность на классическом уровне.

См. также

• Открытые математические проблемы

Примечания