Задача о покрытии множества является классическим вопросом информатики и теории сложности. Данная задача обобщает NP-полную задачу о вершинном покрытии (и потому является NP-сложной). Несмотря на то, что задача о вершинном покрытии сходна с данной, подход, использованный в приближённом алгоритме, здесь не работает. Вместо этого мы рассмотрим жадный алгоритм. Даваемое им решение будет хуже оптимального в логарифмическое число раз. С ростом размера задачи качество решения ухудшается, но всё же довольно медленно, поэтому такой подход можно считать полезным.

Формулировка задачи

Исходными данными задачи о покрытии множества является конечное множество и семейство его подмножеств. Покрытием называют семейство наименьшей мощности, объединением которых является . В случае постановки вопроса о разрешении на вход подаётся пара и целое число ; вопросом является существование покрывающего множества мощности (или менее).

Пример

В качестве примера задачи о покрытии множества можно привести следующую проблему: представим себе, что для выполнения какого-то задания необходим некий набор навыков . Так же, есть группа людей, владеющих некоторыми из этих навыков. Необходимо сформировать минимальную группу для выполнения задания, включающую в себя носителей всех необходимых навыков.

Методы решения

Жадный приближенный алгоритм

Жадный алгоритм выбирает множества руководствуясь следующим правилом: на каждом этапе выбирается множество, покрывающее максимальное число ещё не покрытых элементов.

Greedy-Set-Cover(U,F), где — заданное множество всех элементов, — семейство подмножеств

3. while do
   1. выбираем с наибольшим
4. return

Можно показать, что такой алгоритм показывает время работы , где — мощность наибольшего множества, и — это сумма первых членов гармонического ряда.

Существует стандартный пример, на котором жадный алгоритм работает за время .

Универсуум состоит из элементов. Набор множеств состоит из попарно не пересекающихся множеств , мощности которых соответственно. Так же имеются два непересекающихся множества , каждое из которых содержит половину элементов из каждого . На таком наборе жадный алгоритм выбирает множества , тогда как оптимальным решением является выбор множеств и Пример подобных входных данных для можно увидеть на рисунке справа.

Генетический алгоритм

Генетический алгоритм представляет собой эвристический метод случайного поиска, основанный на принципе имитации эволюции биологической популяции.

В общем случае в процессе работы алгоритма происходит последовательная смена популяций, каждая из которых является семейством покрытий, называемых особями популяции. Покрытия начальной популяции строятся случайным образом. Наиболее распространённая и лучше всего зарекомендовавшая себя — стационарная схема генетического алгоритма, в которой очередная популяция отличается от предыдущей лишь одной или двумя новыми особями. При построении новой особи из текущей популяции с учётом весов покрытий выбирается "родительская" пара особей , и на их основе в процедуре кроссинговера (случайно или детерминированно) формируется некоторый набор покрывающих множеств . Далее подвергается мутации, после чего из него строится особь, которая замещает в новой популяции покрытие с наибольшим весом. Обновление популяции выполняется некоторое(заданное) число раз, и результатом работы алгоритма является лучшее из найденных покрытий.

Точное решение

Часто задача о покрытии множества формулируется, как задача целочисленного программирования:

Требуется найти .

Где — матрица, причем = 1, если , и = 0 в противном случае; обозначает — вектор из единиц; ; — вектор, где , если входит в покрытие, иначе .

Точное решение может быть получено за полиномиальное время, в случае, когда матрица вполне унимодулярна. Сюда можно отнести и задачу о вершинном покрытии на двудольном графе и дереве. В частности, когда каждый столбец матрицы содержит ровно две единицы, задачу можно рассматривать как задачу рёберного покрытия графа, которая эффективно сводится к поиску максимального паросочетания. На классах задач, где или ограничены константой, задача за полиномиальное время решается методами полного перебора.

Схожие задачи

• Задача о вершинном покрытии

Литература

• А.В.Еремеев, Л.А.Заозерская, А.А.Колоколов. Задача о покрытии множества: сложность, алгоритмы, экспериментальные исследования. Дискретный анализ и исследование операций. Сер. 2. 2000. Т. 7, N 2. С.22-46.
• Томас Х. Кормен и др. Глава 16. Жадные алгоритмы // Алгоритмы: построение и анализ = INTRODUCTION TO ALGORITHMS. — 1-е изд. — М.: Московского центра непрерывного математического образования, 2001. — С. 889-892. — ISBN 5-900916-37-5

Примечания

Ссылки

• Benchmarks with Hidden Optimum Solutions for Set Covering, Set Packing and Winner Determination