Диффеоморфизм — отображение определённого типа между гладкими многообразиями.

Определение

Диффеоморфизм — взаимно однозначное и гладкое отображение гладкого многообразия в гладкое многообразие , обратное к которому тоже является гладким.

Обычно под гладкостью понимается -гладкость, однако таким же образом могут быть определены диффеоморфизмы с другим типом гладкости, в частности, класса при любом натуральном .

Примеры

Простейшими примерами диффеоморфизмов являются невырожденные линейные (аффинные) преобразования векторных (соответственно, аффинных) пространств одинаковой размерности.

Связанные определения

• Если для и существует диффеоморфизм , то говорят, что и диффеоморфны. Из сказанного следует, что диффеоморфными могут быть только многообразия одинаковой размерности.

• Множество диффеоморфизмов многообразия в себя образует группу, называемую группой диффеоморфизмов и обозначаемую .

• Отображение назывется локальным диффеоморфизмом в точке если его сужение на некоторую окрестность точки является диффеоморфизмом на некоторую окрестность точки .

Свойства

• Любой диффеоморфизм является гомеоморфизмом.
  • Обратное неверно. Более того существуют гомеоморфные, но не диффеоморфные гладкие многообразия.
• Взаимно однозначное отображение является диффеоморфизмом тогда и только тогда, когда — гладкое отображение и его якобиан нигде не равен нулю.

См. также

• Гомеоморфизм

Литература

• Зорич В. А. Математический анализ, — Любое издание.
• Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология (начальный курс), — Любое издание.
• Хирш М. Дифференциальная топология, — Любое издание.
• Спивак М. Математический анализ на многообразиях. — М.: Мир, 1968.