Гипергеометрическая функция (функция Гаусса) определяется внутри круга как сумма гипергеометрического ряда

а при  — как её аналитическое продолжение. Она является решением линейного обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) второго порядка называемого гипергеометрическим уравнением.

История

Термин «гипергеометрический ряд» впервые был использован Джоном Валлисом в 1655 году в книге Arithmetica Infinitorum. Термин этот относился к ряду, общая формула членов которого имеет вид^[1]

Гипергеометрические ряды изучались Леонардом Эйлером, и более подробно Гауссом.^[2] В XIX веке изучение было продолжено Эрнстом Куммером, а Бернард Риман определил гипергеометрическую функцию через уравнение, которому она удовлетворяет.

Гипергеометрическое уравнение

Рассмотрим дифференциальное уравнение Эйлера

где параметры a, b и c могут быть произвольными комплексными числами. Его обобщение на произвольные регулярные сингулярные точки даётся дифференциальным уравнением Римана. Уравнение Эйлера имеет три особые точки: 0, 1 и .

Когда параметр не равен нулю и отрицательным целым числам регулярное в нуле решение уравнения Эйлера (ДифУрЭйл) будет можно записать через ряд, называемый гипергеометрическим:

Эту функцию называют гипергеометрической. Часто применяют обозначение

где  — гамма-функция. Тогда гипергеометрическую функцию можно представить в виде

Нижние индексы в записи применяются в тех случаях, когда необходимо подчеркнуть отличие от других типов обобщённых гипергеометрических рядов. На границе ряд, через который определяется гипергеометрическая функция, абсолютно сходится, если действительная часть суммы , условно сходится при , и расходится, если . Второе линейно независимое решение уравнения (ДифУрЭйл) имеет вид

Оно имеет особую точку при и справедливо при всех неположительных .^[3]

Интегральное представление гипергеометрической функции при может быть записано следующим образом:

где  — гамма-функция Эйлера.

Запись других функций через гипергеометрическую

Важным свойством гипергеометрической функции является то, что многие специальные и элементарные функции могут быть получены из неё при определённых значениях параметров и преобразовании независимого аргумента.

Примеры

• Полный эллиптический интеграл первого рода:

• Полный эллиптический интеграл второго рода:

• Полином Лежандра:

• Присоединённая функция Лежандра:

• Функции Бесселя:

Примечания

Литература

• Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. — М., 1977. — Т. 1.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции = Higher Transcendental Functions / Пер. Н. Я. Виленкина. — Изд. 2-е,. — М.: Наука, 1973. — Т. 1. — 296 с. — 14 000 экз.
• Кузнецов Д. С.: Специальные функции — М.:"Высшая школа", 1962
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5. — математические дополнения
• Kazuhiko Aomoto, Michitake Kita. Theory of Hypergeometric Functions / Transl. by Kenji Iohara. — Springer, 2011. — Vol. 305. — 317 p. — (Springer Monographs in Mathematics Series). — ISBN 9784431539124.
• Scott J. F. The mathematical work of John Wallis, D.D., F.R.S., (1616-1703). — American Mathematical Soc., 1981. — 240 p. — (Chelsea Publishing Series). — ISBN 9780828403146.