Га́уссов интегра́л (также интеграл Э́йлера — Пуассо́на или интеграл Пуассона[1]) — интеграл от гауссовой функции:
| Доказательство 1 |
|---|
| Посчитаем Возьмём функцию Она ограничена сверху единицей, то есть, полагая , получим
Ограничим в первом неравенстве изменение промежутком , а во втором - промежутком , возведём оба неравенства в степень , так как неравенства с положительными членами можно возводить в любую натуральную степень почленно. Получим:
Интегрируя неравенства в указанных пределах и сведя их в одно, получим Но так как при замене получим получим соответственно Замена пределов интегрирования получается из-за того, что при изменении переменной меняется в пределах от 0 до И заменяя , получим Здесь с пределами интегрирования аналогично: при изменении переменной t меняется от 0 до Последние два интеграла можно получить дважды интегрируя их по частям. Таким образом искомое К может быть заключено в интервале Для нахождения К возведём всё неравенство в квадрат и преобразуем. В результате всё сильно упрощается до По формуле Валлиса можно видеть, что и левое, и правое выражение стремятся к при Следовательно, Действуя аналогично с , получаем, что |
| Доказательство 2 |
|---|
| Гауссов интеграл может быть представлен как . Рассмотрим квадрат этого интеграла . Вводя двумерные декартовы координаты, переходя от них к полярным координатам , , и интегрируя по (от 0 до ), получаем:
Следовательно, . |
Гауссовы интегралы от масштабированной гауссовой функции
и многомерные гауссовы интегралы
элементарно сводятся к обычному одномерному, описанному первым (здесь и ниже везде подразумевается интегрирование по всему пространству).
То же относится к многомерным интегралам вида
где x — вектор, а M — симметричная матрица с отрицательными собственными числами, так как такие интегралы сводятся к предыдущему, если сделать преобразование координат, диагонализующее матрицу М.
Практическое применение (например, для вычисления Фурье-преобразование от гауссовой функции) часто находит следующее соотношение
Впервые одномерный гауссов интеграл вычислен в 1729 году Эйлером, затем Пуассон нашел простой приём его вычисления[2]. В связи с этим он получил название интеграла Эйлера — Пуассона.
| Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её. |
Гауссов интеграл.