Николай Антонович Бобылёв (28 октября 1947, Воронеж — 17 декабря 2002, Москва) — советский и российский математик. Специалист в области нелинейного анализа.

Биография

Родился в семье служащих. Окончил экстерном среднюю школу № 58 г. Воронеж. Учителем математики в его классе был известный педагог Сморгонский Давид Борисович.

В 1964 г. поступил на математико-механический факультет Воронежского государственного университета (ВГУ). На первом курсе начал заниматься комбинаторной геометрией под руководством Ю. И. Петунина, написал первые научные работы ^[1]. На старших курсах начал заниматься теорией дифференциальных уравнений под руководством М. А. Красносельского, который оказал наибольшее влияние на становление Н. А. Бобылёва как учёного.

В 1969 г., после окончания ВГУ, переехал в Москву вместе с М. А. Красносельским и группой его учеников. С 1969 по 1972 г. учился в аспирантуре Института проблем управления АН СССР (ИПУ АН СССР). Кандидат физико-математических наук (1972), название диссертации: «Фактор-методы приближенного решения нелинейных задач», научный руководитель М. А. Красносельский.

В 1972–2002 г. Н. А. Бобылёв работал в ИПУ АН СССР последовательно в должностях научного сотрудника, старшего научного сотрудника, ведущего научного сотрудника, заведующего лабораторией математических методов исследования сложных систем (с 1990). Доктор физико-математических наук (1988), название диссертации: «Деформационные методы исследования оптимизационных задач».

По совместительству работал в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова (1990–2002). Профессор кафедры нелинейных динамических систем и процессов управления факультета вычислительной математики и кибернетики. Читал оригинальный курс лекций «Методы нелинейного анализа в задачах управления и оптимизации». Соавтор учебного пособия, охватывающего содержание этого курса ^[2]. Читал аналогичный курс лекций для студентов МФТИ.

Лауреат премии РАН имени А. А. Андронова (2000)^[3]. Лауреат Ломоносовской премии МГУ первой степени в области науки (2002)^[4].

Опубликовал более 150 научных работ и ряд монографий, список которых приведён ниже. Подготовил 12 кандидатов физико-математических наук.

Научные результаты

Гомотопическая инвариантность минимума

Н. А. Бобылёв разработал гомотопический метод исследования экстремальных задач, в основе которого лежит открытый им принцип инвариантности минимума (деформационный метод).

Деформационный метод привёл к существенным продвижениям в областях математики, так или иначе связанных с исследованием функций на экстремум.

Были найдены новые доказательства классических неравенств Коши, Юнга, Минковского, Йенсена, их обобщения, точные константы в этих неравенствах.

Разработаны новые методы исследования устойчивости траекторий динамических систем с непрерывным временем, в частности, градиентных, потенциальных и гамильтоновых систем.

Деформационный метод оказался полезным при исследовании разрешимости (в обобщённом смысле) краевых задач математической физики, в задачах вариационного исчисления, математического программирования. Он позволяет проводить анализ устойчивости решений, находить достаточные признаки минимума, исследовать вырожденные экстремали. Была выявлена связь теорем единственности краевых задач с признаками минимума интегральных функционалов. С помощью деформационного метода была решена известная проблема Улама о корректности вариационных задач ^[5]. Достаточно полно все эти результаты отражены в монографиях, приведённых ниже в списке основных работ.

Н. А. Бобылёв первоначально дал элементарное доказательство принципа инвариантности минимума, в котором не используется топологический аппарат. Применение топологических методов, основанных на использовании индекса Конли^[en], позволяет дать очень простое доказательство принципа инвариантности минимума. Однако класс функций, к которым применима эта методика, существенно уже.

Естественное обобщение принципа инвариантности минимума - гомотопическую инвариантность индекса инерции гессиана ^[6], можно легко доказать топологическими методами ^[7]. Элементарное доказательство этого утверждения, несмотря на усилия многих математиков, пока не найдено.

Топологические инварианты

Исследование нелинейных задач топологическими методами - одно из важнейших направлений деятельности всей научной школы М. А. Красносельского. Эти работы базируются на применении топологических инвариантов, таких как вращение векторного поля, топологический индекс, эйлерова характеристика, род множества и др. к конкретным задачам. К этому направлению относится и большинство научных результатов Н. А. Бобылёва.

Н. А. Бобылёв разработал бесконечномерный вариант теории Пуанкаре о топологическом индексе устойчивого состояния равновесия, который имеет многочисленные приложения. Так, им было доказано, что уравнения Гинзбурга-Ландау, описывающие поведение сверхпроводника во внешнем магнитном поле, имеют неизвестное ранее неустойчивое решение, отвечающее седловой точке интеграла общей энергии сверхпроводника ^[8].

Н. А. Бобылёвым была предложена методика локализации предельных циклов в системах с хаотическим поведением траекторий, основанная на методах нелинейного функционального анализа (в частности, на применении метода функционализации параметра) ^[9].

Эффективным инструментом исследования нелинейных задач теории колебаний явились предложенные Н. А. Бобылёвым и М. А. Красносельским теоремы родственности ^[10]. Теоремы родственности выявляют связи между топологическими характеристиками нулей различных векторных полей, возникающих при исследовании конкретной задачи, и тем самым позволяют сравнительно просто вычислить эти характристики. Эти теоремы нашли приложение в задачах о сходимости приближённых методов построения периодических решений систем автоматического регулирования с непрерывным временем, задачах о периодических колебаниях для систем с запаздыванием, при оценивании числа периодических решений нелинейных систем.

Используя понятие топологического индекса, Н. А. Бобылёв доказал ряд теорем о сходимости различных численных методов решения нелинейных задач оптимизации (метода гармонического баланса, метода механических квадратур, метода коллокации, метода Галеркина, фактор-методов, градиентных методов) ^[11].

Прикладные задачи теории управления

Н. А. Бобылёв принимал активное участие в научных исследованиях по проблемам управления, проводимых в ИПУ. Им был получен ряд важных результатов.

Для задач нелинейного программирования большой размерности, в которую нелинейно входит лишь небольшая часть переменных, разработал специальный численный метод оптимизации, обладающий высокой эффективностью в связи с учётом данной особенности задачи ^[12].

Существенно усилил результаты Б. Т. Поляка о выпуклости образов выпуклых множеств при гладких отображениях ^[13].

В теории робастной устойчивости предложил методику получения оценок радиуса устойчивости динамических систем ^{[14] [15] [16] [17]}.

Основные работы

1. Бобылев Н. А., Красносельский М. А. Анализ на экстремум (вырожденные случаи). Препринт. — М.: ИПУ АН СССР, 1981. — 52 с. — 300 экз.
2. Бобылев Н. А. Вращение векторных полей в конечномерных пространствах. Препринт. — М.: Всесоюзный научно-исследовательский ин-т системных исследований, 1990. — 72 с. — 200 экз.
3. Бобылев Н. А., Климов В. С. Методы нелинейного анализа в задачах негладкой оптимизации. — М.: Наука, 1992. — 208 с. — 390 экз. — ISBN 5-02-006862-4.
4. Bobylev N. A., Burman Yu. M., Korovin S. K. Approximation Procedures in Nonlinear Oscillation Theory. — Berlin-New York: Walter de Gruyter, 1994. — 272 p. — ISBN 3-11-014-132-9.
5. Бобылев Н. А., Емельянов С. В., Коровин С. К. Топологические мотоды в вариационных задачах. — М.: Изд-во факультета ВМиК МГУ, 1997. — 108 с. — 300 экз. — ISBN 5-89407-012-0.
6. Бобылев Н. А., Емельянов С. В., Коровин С. К. Геометрические мотоды в вариационных задачах. — М.: Изд-во Магистр, 1998. — 658 с. — 500 экз.
7. Bobylev N. A., Emel'yanov S. V., Korovin S. K. Geometrical Methods in Variational Problems. — Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 1999. — Vol. 485. — 540 p. — (Mathematics and Its Applications). — ISBN 0-7923-5780-9.
8. Емельянов С. В., Коровин С. К., Бобылев Н. А., Булатов А. В. Гомотопии экстремальных задач. — М.: Наука, 2001. — 350 с. — 440 экз. — ISBN 5-02-002559-3.
9. Бобылев Н. А., Емельянов С. В., Коровин С. К. Методы нелинейного анализа в задачах управления и оптимизации. — М.: УРСС, 2002. — 120 с. — 600 экз. — ISBN 5-354-00202-8.
10. Emel'yanov S. V., Korovin S. K., Bobylev N. A., Bulatov A. V. Homotopy of extremal problems: theory and applications. — Berlin-New York: Walter de Gruyter, 2007. — Vol. 11. — 303 p. — (de Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications). — ISBN 978-3-11-018942-1.

Научно-организационная деятельность

Член редакционных коллегий журналов «Автоматика и телемеханика» и «Дифференциальные уравнения».

Член диссертационных Советов в ИПУ РАН и ИППИ РАН.

Член экспертного совета по управлению, вычислительной технике и информатике ВАК России.

Примечания