Аксиомой объёмности называется следующее высказывание теории множеств:

Если переписать аксиому объёмности в виде

,

тогда названную аксиому можно сформулировать по-русски:

"Каковы бы ни были два множества, если каждый элемент 1-го множества принадлежит 2-му множеству, а каждый элемент 2-го множества принадлежит 1-му множеству, тогда первое множество идентично второму множеству."

Другие формулировки аксиомы объёмности

Примечания

Аксиома объёмности выражает необходимое условие равенства двух множеств. Достаточное условие равенства множеств выводится из аксиом предиката , а именно:

,

, где — любое математически корректное суждение об , а — то же самое суждение, но об .

Соединяя указанное достаточное условие равенства множеств с аксиомой объёмности, получаем следующий критерий равенства множеств:

Указанный критерий равенства множеств не хуже и не лучше других аналогичных критериев, включая:

1) критерий равенства комплексных чисел

,

2) критерий равенства упорядоченных пар

,

3) критерий равенства неупорядоченных пар

,

4) критерий равенства двух последовательностей

.

Из изложенного ясно, что аксиома объёмности является органичной частью аксиоматики теории множеств.

Аксиому объёмности применяют при доказательстве единственности множества, существование которого уже декларировано [аксиомой} либо установлено [доказательством теоремы].

Примеры

1. Доказательство единственности пустого множества

Cуществование [по меньшей мере одного] пустого множества декларировано аксиомой

.

Требуется доказать существование не более, чем одного множества , для которого верно высказывание

.

Иначе говоря, требуется доказать

Или, что то же самое, требуется доказать

Доказательство

Поскольку , постольку доказательство единственности пустого множества завершено.

2. Доказательство единственности множества подмножеств

Существование [по меньшей мере одного] множества подмножеств декларировано аксиомой

Требуется доказать существование не более, чем одного множества , для которого верно высказывание

Иначе говоря, требуется доказать

Или, что то же самое, требуется доказать

Доказательство

Поскольку , постольку доказательство единственности множества подмножеств завершено.

См. также

• Аксиоматика теории множеств

Литература