Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций:
Каждую элементарную функцию можно задать формулой, то есть набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям. Все элементарные функции непрерывны на своей области определения.
Иногда к основным элементарным функциям относят также гиперболические и обратные гиперболические функции, хотя они могут быть выражены через перечисленные выше основные элементарные функции.
Содержание |
Рассматривая функции комплексного переменного, Лиувилль определил элементарные функции несколько шире. Элементарная функция переменной — аналитическая функция, которая может быть представлена как алгебраическая функция от и функций , причём является логарифмом или экспонентой от некоторой алгебраической функции от , является логарифмом или экспонентой от некоторой алгебраической функции от и и так далее.
Например, — элементарная функция в этом смысле, поскольку она является алгебраической функцией . Функция тоже является элементарной, поскольку её можно представить в виде:
Не ограничивая общности рассмотрения, можно считать функции алгебраически независимы, то есть если алгебраическое уравнение выполняется для всех , то все коэффициенты полинома равны нулю.
Элементарные функции бесконечно дифференцируемы всюду, где они определены. При этом производная элементарной функции всегда является элементарной функцией и может быть найдена за конечное число действий. Именно, по правилу дифференцирования сложной функции
где равно или или в зависимости от того, логарифм ли или экспонента и т. д. На практике удобно использовать таблицу производных.
Интеграл элементарной функции не всегда сам является элементарной функцией. Наиболее распространённые функции, интегралы которых найдены, собраны в таблице интегралов. В общем случае имеет место теорема:
Теорема Лиувилля. Если интеграл от элементарной функции сам является элементарной функцией, то он представим в виде
где — некоторые комплексные числа, а — алгебраические функции своих аргументов.
Доказательство этой теоремы Лиувилль основал на следующем принципе. Если интеграл от берётся в элементарных функциях, то верно
где — алгебраическая функция, — логарифм или экспонента алгебраической функции и т. д. Функции являются алгебраически независимыми и удовлетворяют некоторой системе дифференциальных уравнений вида
где — алгебраические функции своих аргументов. Если — семейство решений этой системы, то
откуда
Для некоторых классов интегралов эта теорема позволяет весьма просто исследовать разрешимость в элементарных функциях задачи об интегрировании.
Следствие теоремы Лиувилля (См. Ритт, с. 47 и сл.). Если интеграл
где — полиномы, берётся в элементарных функциях, то
где — тоже некоторый полином, удовлетворяющий дифференциальному уравнению
Пример. В частности, интеграл
не берётся, поскольку подстановка
в уравнение
даёт . Интеграл же
берётся, поскольку
имеет решение . При этом, конечно,
Доказательство следствия. В силу теоремы Лиувилля
Тогда в силу принципа Лиувилля при произвольной константе верно
Дифференцируя по и полагая , видим, что интеграл выражается алгебраически через , то есть
Опять применяя принцип Лиувилля, имеем
Дифференцируя по и полагая , имеем
при , а следовательно, в силу алгебраической независимости , при всех . Поэтому
где — некоторая алгебраическая функция . Таким образом,
Коль скоро сам интеграл заведомо является целой функцией , то — полином. Следствие доказано.
Наиболее сложным оказался вопрос об интегрировании в элементарных функциях функций алгебраических, то есть о взятии абелевых интегралов, которому посвящены обширные исследования Вейерштрасса, Пташицкого[1] и Риша[2].
Теорема Лиувилля является основой для создания алгоритмов символьного интегрирования элементарных функций, реализуемых, напр., в Maple.
Теория Лиувилля не распространяется на вычисление пределов. Неизвестно, существует ли алгоритм, который по заданной элементарной формулой последовательности даёт ответ, имеет ли она предел или нет. Например, открыт вопрос о том, сходится ли последовательность .[3]
Элементарные функции.