Selhoz-katalog.ru

Сельхоз каталог

Тороид

У этого термина существуют и другие значения, см. Тор.
Красным - образующая окружность

Тор (тороид) — поверхность вращения, получаемая вращением образующей окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности.

Содержание

Ось тора

Ось тора может лежать вне образующей окружности либо касаться её.

  • Изменение расстояния до оси вращения

При сечении тора вращения «диагональной» касательной плоскостью, проходящей через центр тора (эта плоскость автоматически получается бикасательной) образуются окружности Вилларсо.

Уравнения

Параметрическое

Уравнение тора с расстоянием от центра образующей окружности до оси вращения R и с радиусом образующей окружности r может быть задано параметрически в виде:

  • \left\{ \begin{matrix} x(\varphi,\psi) = & (R + r \cos \varphi) \cos \psi \\ y(\varphi,\psi) = & (R + r \cos \varphi) \sin \psi \\ z(\varphi,\psi) = & r \sin \varphi \\ \end{matrix} \right. \qquad \varphi, \psi \in [0;2\pi)

Алгебраическое

Непараметрическое уравнение в тех же координатах и с теми же радиусами имеет четвёртую степень:

В частности, тор является поверхностью четвёртого порядка.

Свойства

  • Площадь поверхности тора как следствие из первой теоремы Гюльдена: .
  • Объём тела, ограничиваемого тором (полнотория), как следствие из второй теоремы Гульдина: .
  • Тор с вырезанным диском («проколотый») можно вывернуть наизнанку непрерывным образом (топологически, то есть серией диффеоморфизмов). При этом две пересекающиеся перпендикулярно окружности на нём («параллель» и «меридиан») поменяются местами.[1]
Этапы выворачивания тора
  • Два таких «дырявых» тора, сцепленных между собой, можно продеформировать так, чтобы один из торов «проглотил» другой.[2]
Вариант окраски участков тора
  • Минимальное число цветов, необходимое для раскрашивания участков тора так, чтобы соседние были разного цвета, равно 7. См. также Проблема четырёх красок.

Сечения

  • При сечении тора бикасательной плоскостью, получающаяся кривая четвёртого порядка оказывается вырожденной: пересечение является объединением двух окружностей называемых окружностями Вилларсо.
    • В частности открытый тор может быть представлен как поверхность вращения окружности зацепленной за ось вращения
  • Одно из сечений открытого тора — лемниската Бернулли, другие кривые линии являются графическими линиями и называются кривыми Персея[3] (спирическими линиями, сечениями тора плоскостью, параллельной его оси)
  • Некоторые пересечения поверхности тора плоскостью внешне напоминают эллипс (кривую 2-го порядка). Получаемая таким образом кривая выражается алгебраическим уравнением 4-го порядка[4].
Сечения

История

Тороидальная поверхность впервые была рассмотрена древнегреческим математиком Архитом при решении задачи об удвоении куба. Другой древнегреческий математик, Персей, написал книгу о спирических линиях — сечениях тора плоскостью, параллельной его оси.

Вариации и обобщения

Литература

  • Савелов А. А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения. М.: Физматгиз, 1960. 293 с. Переиздана в 2002 году, ISBN 5-93972-125-7

См. также

Примечания

  1. ↑ Этапы выворачивания тора были приведены в статье Альберта Такера и Герберта Бейли «Топология» в Scientific American в январе 1950 г.
  2. ↑ Подробности приведены в статьей М. Гарднера в Scientific American за март 1977 Другие парадоксы, связанные с торами можно найти в статьях М. Гарднера, опубликованных в Scientific American в декабре 1972 и декабре 1979 гг.
  3. Теоретические основы решения задач по начертательной геометрии: Учебное пособие
  4. Пересечение сферы и тора плоскостью. Пример построения «линии среза» на поверхности комбинированного тела вращения

Тороид.

© 2021–2023 selhoz-katalog.ru, Россия, Тула, ул. Октябр 53, +7 (4872) 93-16-24