Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса — теорема комплексного анализа, описывающая поведение голоморфной функции в окрестности существенной особой точки.

Она гласит, что всякая однозначная аналитическая функция в каждой окрестности существенно особой точки принимает значения, сколь угодно близкие к произвольному наперёд заданному комплексному числу^[1].

Была опубликована Ю. В. Сохоцким в 1868 году в его магистерской диссертации^{[K 1]}; в ней доказывалось, что «в полюсе бесконечного порядка» (так была названа существенно особая точка) функция «должна принимать всевозможные значения» (под значением функции в этой точке в этой работе понималось предельное значение по сходящейся к ней последовательности точек)^[2].

Одновременно с Сохоцким теорему о плотности образа проколотой окрестности существенно особой точки опубликовал итальянский математик Ф. Казорати в своей работе «Теория функций комплексных переменных»^{[K 2]}. Вейерштрасс опубликовал эту теорему только в 1876 году в работе «К теории однозначных аналитических функций»^{[K 3][3]}. Впервые же она встречается у французских математиков Ш. Брио и Ж. К. Буке в работе по теории эллиптических функций^{[K 4][1]}.

Сохоцкий нигде не отстаивал своего приоритета по поводу этого и других своих результатов, приписывавшихся другим^[2]; в литературе на европейских языка теорема известна как «теорема Казорати-Вейерштрасса».

Формулировка

Доказательство

Предположим, что теорема неверна, т.е.

Рассмотрим вспомогательную функцию . В силу нашего предположения функция определена и ограничена в -окрестности точки . Следовательно - устранимая особая точка ^[4]. Это означает, что разложение функции в окрестности точки имеет вид:

.

Тогда, в силу определения функции , в данной окрестности точки имеет место следующее разложение функции :

,

где аналитическая функция ограничена в -окрестности точки . Но такое разложение означает, что точка является полюсом или правильной точкой функции , и разложение последней в ряд Лорана должно содержать конечное число членов, что противоречит условию теоремы.

■

Эквивалентным образом эта теорема может быть переформулирована следующим образом:

• Если точка является существенно особой для функции , аналитической в некоторой проколотой окрестности , то для произвольного комплексного числа можно найти последовательность , сходящуюся к , для которой .
• множество значений голоморфной функции в сколь угодно малой проколотой окрестности её существенной особой точки всюду плотно в .

Комментарии

1. ↑ Теория интегральных вычетов с некоторыми приложениями. — СПб., 1868.
2. ↑ Сasоrаti F. Teorica delle funzioni di variabili complesse. — Pavia, 1868.
3. ↑ Weierstrass K. Zur Theorie der eindeutigen analytischen Funktionen // Math. Werkc, Bd 2, В. — P. 77-124.
4. ↑ С. Вriot, I. Bouquet. Theorie des fonctions doublement periodiques et em particulier des fonctions elliptiques. — 1859.

Cсылки