Принцип максимального правдоподобия

Ме́тод максима́льного правдоподо́бия или метод наибольшего правдоподобия (ММП, ML, MLE — Maximum Likelihood Estimation) в математической статистике — это метод оценивания неизвестного параметра путём максимизации функции правдоподобия^[1]. Основан на предположении о том, что вся информация о статистической выборке содержится в функции правдоподобия. Метод максимального правдоподобия был проанализирован, рекомендован и значительно популяризирован Р. Фишером между 1912 и 1922 годами (хотя ранее он был использован Гауссом, Лапласом и другими).

Оценка максимального правдоподобия является популярным статистическим методом, который используется для создания статистической модели на основе данных, и обеспечения оценки параметров модели.

Метод максимального правдоподобия соответствует многим известным методам оценки в области статистики. Например, предположим, что вы заинтересованы ростом жителей Украины. Предположим, у вас данные роста некоторого количества людей, а не всего населения. Кроме того предполагается, что рост является нормально распределенной величиной с неизвестной дисперсией и средним значением. Среднее значение и дисперсия роста выборки является максимально правдоподобным к среднему значению и дисперсии всего населения.

Для фиксированного набора данных и базовой вероятностной модели, используя метод максимального правдоподобия, мы получим значения параметров модели, которые делают данные «более близкими» к реальным. Оценка максимального правдоподобия дает уникальный и простой способ определить решения в случае нормального распределения.

Метод оценки максимального правдоподобия применяется для широкого круга статистических моделей, в том числе:

линейные модели и обобщенные линейные модели;
факторный анализ;
моделирования структурных уравнений;
многие ситуации, в рамках проверки гипотезы и доверительного интервала формирования;
дискретные модели выбора.

Содержание

1 Сущность метода
2 Свойства
3 Примеры
4 Условный метод максимального правдоподобия
5 См. также
6 Примечания
7 Литература

Сущность метода

Основная статья: Праводоподобие принятой последовательности

Пусть есть выборка из распределения , где — неизвестные параметры. Пусть — функция правдоподобия, где . Точечная оценка

называется оце́нкой максима́льного правдоподо́бия параметра . Таким образом оценка максимального правдоподобия — это такая оценка, которая максимизирует функцию правдоподобия при фиксированной реализации выборки.

Часто вместо функции правдоподобия используют логарифмическую функцию правдоподобия . Так как функция монотонно возрастает на всей области определения, максимум любой функции является максимумом функции , и наоборот. Таким образом

Если функция правдоподобия дифференцируема, то необходимое условие экстремума - равенство нулю ее градиента:

Достаточное условие экстремума может быть сформулировано как отрицательная определенность гессиана - матрицы вторых производных:

Важное значение для оценки свойств оценок метода максимального правдоподобия играет так называемая информационная матрица, равная по определению:

В оптимальной точке информационная матрица совпадает с математическим ожиданием гессиана, взятым со знаком минус:

Свойства

Оценки максимального правдоподобия, вообще говоря, могут быть смещёнными (см. примеры), но являются состоятельными, асимптотически эффективными и асиптотически нормальными оценками. Асимптотическая нормальность означает, что

где - асимптотическая информационная матрица

Асимптотическая эффективность означает, что асимптотическая ковариационная матрица является нижней границей для всех состоятельных асимптотически нормальных оценок.

Если — оценка метода максимального правдоподобия, параметров , то является оценкой максимального правдоподобия для , где g-непрерывная функция (функциональная инвариантность). Таким образом, законы распределения данных можно параметризовать различным образом.

Примеры

Пусть — независимая выборка из непрерывного равномерного распределения на отрезке , где — неизвестный параметр. Тогда функция правдоподобия имеет вид

$f(\mathbf{x} \mid \theta ) = \begin{cases} \frac{1}{\theta^n}, & \mathbf{x} \in [0,\theta]^n \subset \mathbb{R}^n \\ 0, & \mathbf{x} \not\in [0,\theta]^n \end{cases} .$

Последнее равенство может быть переписано в виде:

$f(\mathbf{x} \mid \theta ) = \begin{cases} \frac{1}{\theta^n}, & \theta \ge \max(x_1,\ldots,x_n) \\ 0, & \theta < \max(x_1,\ldots,x_n) \end{cases} ,$

где , откуда видно, что своего максимума функция правдоподобия достигает в точке . Таким образом

Пусть — независимая выборка из нормального распределения с неизвестными средним и дисперсией. Построим оценку максимального правдоподобия для неизвестного вектора параметров . Логарифмическая функция правдоподобия принимает вид

Чтобы найти её максимум, приравняем к нулю частные производные:

$\left\{ \begin{matrix} \displaystyle \frac{\partial}{\partial \mu} L(\mathbf{x} \mid \mu, \sigma^2 ) = 0 \\[10pt] \displaystyle \frac{\partial}{\partial \sigma^2} L(\mathbf{x} \mid \mu, \sigma^2 ) = 0 \\ \end{matrix} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \displaystyle \frac{ \sum\limits_{i=1}^n X_i - n \mu}{\sigma^2} = 0 \\[10pt] \displaystyle -\frac{n}{2 \sigma^2} +\frac{\sum\limits_{i=1}^n (X_i - \mu)^2}{2 \left(\sigma^2\right)^2} = 0 \\ \end{matrix} \right.,$

откуда

— выборочное среднее, а

— выборочная дисперсия.

Условный метод максимального правдоподобия

Условный метод максимального правдоподобия (Conditional ML) используется в регрессионных моделях. Суть метода заключается в том, что используется не полное совместное распределение всех переменных (зависимой и регрессоров), а только условное распределение зависимой переменной по факторам, то есть фактически распределение случайных ошибок регрессионной модели. Полная функция правдоподобия есть произведение «условной функции правдоподобия» и плотности распределения факторов. Условный ММП эквивалентен полному варианту ММП в том случае, когда распределение факторов никак не зависит от оцениваемых параметров. Это условие часто нарушается в моделях временных рядов, например в авторегрессионной модели. В данном случае, регрессорами являются прошлые значения зависимой переменной, а значит их значения также подчиняются той же AR-модели, то есть распределение регрессоров зависит от оцениваемых параметров. В таких случаях результаты применения условного и полного метода максимального правдоподобия будут различаться.

См. также

Примечания

↑ Фишер — 1912 г. Математический энциклопедический словарь, М.: Советская энциклопедия, 1988.

Литература

Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. — М.: Дело, 2007. — 504 с. — ISBN 978-5-7749-0473-0

Это заготовка статьи по статистике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.

Selhoz-katalog.ru

Сельхоз каталог

Обзоры