Неравенство Птолемея: Для любых точек плоскости выполнено неравенство

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда (выпуклый) вписанный четырехугольник или точки ABCD лежат на одной прямой.

Идеи доказательства

• Один из вариантов доказательства — применить инверсию относительно окружности с центром в точке A и неравенство треугольника для образов точек B, C, D.^[1]
• Другой вариант (близкий к доказательству самого Птолемея, приведённому им в книге Альмагест) — ввести точку E такую, что , а потом через подобие треугольников.
• Неравенство также является следствием из соотношения Бретшнайдера.

Следствия

• Теорема Помпею́.^[2] Рассмотрим точку и правильный треугольник . Тогда из отрезков , и можно составить треугольник, причем этот треугольник вырожденный тогда и только тогда, когда точка лежит на описанной окружности треугольника .

• Если AC — диаметр окружности, то теорема превращается в правило синуса суммы. Именно это следствие использовал Птолемей для составления таблицы синусов.

Вариации и обобщения

• Соотношение Бретшнайдера
• Неравенства Птолемея можно распространить и на шесть точек: если произвольные точки плоскости, то

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда — вписанный шестиугольник.

• Теорема Кэзи (обобщённая теорема Птолемея): Рассмотрим окружности и , касающиеся данной окружности в вершинах и выпуклого четырехугольника . Пусть — длина общей касательной к окружностям и (внешней, если оба касания внутренние или внешние одновременно, и внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее); и т. д. определяются аналогично. Тогда

.

Примечания