Мо́дуль над кольцо́м — одно из основных понятий в абстрактной алгебре, являющееся обобщением двух алгебраических понятий — векторного пространства (здесь кольцом является поле), и абелевой группы (где кольцо совпадает с кольцом целых чисел ).

Понятие модуля лежит в основе коммутативной алгебры, которая играет важную роль в различных областях математики, таких как

• алгебраическая геометрия,
• гомологическая алгебра,
• теория представлений групп.

Определения

Пусть — кольцо (как правило, считающееся коммутативным c единичным элементом). -модулем называется абелева группа с операцией умножения на элементы кольца

которая удовлетворяет следующим условиям:

1)

2)

3)

4)

Примечание: В случае некоммутативного кольца такие модули часто называются левыми. Правыми модулями называют в этом случае такие объекты, у которых условие 1) заменено следующим:

что гораздо удобнее формулировать, записывая элемент кольца при умножении справа от элемента модуля:

отсюда и терминология.

Любое кольцо R можно рассматривать как модуль над собой (в некоммутативном случае оно является также правым модулем над собой).

Модуль называется простым, если он не содержит нетривиальных подмодулей.

Модуль E называется полупростым, если выполняются следующие эквивалентные условия:

1) E разлагается в сумму простых модулей,

2) E разлагается в прямую сумму простых модулей,

3) для любого подмодуля F существует подмодуль G, что их прямая сумма есть E.

Связанные определения и свойства

• Подмодулем модуля называется подгруппа группы , замкнутая относительно умножения на элементы из , т. е. такая, что

.

• Если кольцо R рассматривать как модуль над собой то его подмодули являются левыми идеалами, если кольцо рассматривать как правый модуль, то правыми идеалами, в коммутативном случае понятие левого и правого идеалов совпадают.

• Гомоморфизмом или -гомоморфизмом -модулей и называется гомоморфизм групп , для которого выполнено дополнительное условие . Множество всех таких гомоморфизмов обозначают через . На этом множестве можно ввести структуру абелевой группы, определяя 0, - и + равенствами

.

• Модуль называют артиновым (нётеровым), если каждая убывающая (возрастающая) последовательнось его подмодулей стабилизируется за конечное число шагов.

Примеры

• Любая абелева группа — модуль над кольцом целых чисел.
• Линейное пространство над полем является модулем над .
• Линейное пространство — модуль над кольцом всех своих линейных преобразований
• Дифференциальные формы на гладком многообразии снабжены естественной структурой модуля над кольцом всех гладких функций на .

История

Простейшие примеры модулей (конечные абелевы группы, т.е. -модули) появляются уже у Гаусса как группы классов бинарных квадратичных форм. Общее понятие модуля встречается впервые в 60—80-х гг. XIX века в работах Дедекинда и Кронекера, посвящённых арифметике полей алгебраических чисел и алгебраических функций. Проводившееся примерно в это же время исследование конечномерных ассоциативных алгебр, и в частности групповых алгебр конечных групп (Б. Пирс, Ф.Фробениус), привело к изучению идеалов некоторых некоммутативных колец. Первоначально теория модулей развивалась преимущественно как теория идеалов некоторого кольца. Лишь позднее в работах Э.Нётер и В.Крулля (W. Krull) было замечено, что многие результаты удобнее формулировать и доказывать в терминах произвольных модулей, а не только идеалов.

Литература

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1975.
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М.: ИЛ, 1963. — Т. 1.
• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.