Один из самых сильных и общих методов аналитической теории чисел — метод тригонометрических сумм — был создан И. М. Виноградовым. Многие проблемы аналитической теории чисел довольно просто формулируются на языке конечных сумм слагаемых вида

,

где  — действительная целочисленная функция, Таким образом, центр тяжести этих проблем переносится на задачу изучения таких сумм и, в частности, на задачу получения возможно более точной оценки модуля таких сумм. И. М. Виноградов, используя глубокие арифметические свойства рассматриваемых сумм, получил исключительно сильные оценки модуля широкого класса таких сумм. Этот метод позволил Виноградову получить фундаментальные, близкие к предельно возможным результаты в целом ряде вопросов теории чисел в таких классических задачах, как проблема Варинга, проблема Гильберта — Камке, проблема оценок сумм Вейля (1934—1935). Другим следствием метода (1935—1937) было решение ряда аддитивных проблем с простыми числами и, в частности, решение проблемы Гольдбаха.