Корень многочлена (не равного тождественно нулю)
над полем k — это элемент (либо элемент расширения поля k), такой, что выполняются два следующих равносильных условия:
в тождество.
Равносильность двух формулировок следует из теоремы Безу. В различных источниках любая одна из двух формулировок выбирается в качестве определения, а другая выводится в качестве теоремы.
Говорят, что корень имеет кратность , если рассматриваемый многочлен делится на и не делится на Например, многочлен имеет единственный корень, равный кратности 2. Выражение «кратный корень» означает, что кратность корня больше единицы.
Способ нахождения корней линейных и квадратичных многочленов, то есть способ решения линейных и квадратных уравнений, был известен ещё в древнем мире. Поиски формулы для точного решения общего уравнения третьей степени продолжались долгое время (следует упомянуть метод, предложенный Омаром Хайямом), пока не увенчались успехом в первой половине XVI века в трудах Сципиона дель Ферро, Никколо Тарталья и Джероламо Кардано. Формулы для корней квадратных и кубических уравнений позволили сравнительно легко получить формулы для корней уравнения четвертой степени.
То, что корни общего уравнения пятой степени[en] и выше не выражаются при помощи рациональных функций и радикалов от коэффициентов, было доказано норвежским математиком Нильсом Абелем в 1826 году[1]. Это совсем не означает, что корни такого уравнения не могут быть найдены. Во-первых, в частных случаях, при некоторых комбинациях коэффициентов, корни уравнения всё же могут быть определены. Во-вторых, существуют формулы для корней уравнений 5-й степени и выше, использующие специальные функции — эллиптические или гипергеометрические (см., к примеру, корень Бринга).
В случае, если все коэффициенты многочлена рациональны, то нахождение его корней приводится к нахождению корней многочлена с целыми коэффициентами. Для рациональных корней таких многочленов существуют алгоритмы нахождения перебором кандидатов с использованием схемы Горнера, причем при нахождении целых корней перебор может быть существенно уменьшен приемом чистки корней. Также в этом случае можно использовать полиномиальный LLL-алгоритм[en].
Для приблизительного нахождения (с любой требуемой точностью) вещественных корней многочлена с вещественными коэффициентами используются итерационные методы, например, метод секущих, метод бисекции, метод Ньютона. Количество вещественных корней многочлена на интервале может быть определено при помощи теоремы Штурма.
Корень многочлена кратности два, корень многочлена формула, корень многочлена видеоурок.
Motorola A1200, Категория:Скульптуры 1961 года, Сложно-смешанные удобрения.