Каса́тельная пряма́я — прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.

Строгое определение

• Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , и дифференцируема в ней: . Касательной прямой к графику функции в точке называется график линейной функции, задаваемой уравнением

  .

• Если функция имеет в точке бесконечную производную то касательной прямой в этой точке называется вертикальная прямая, задаваемая уравнением

Замечание

Прямо из определения следует, что график касательной прямой проходит через точку . Угол между касательной к кривой и осью Ох удовлетворяет уравнению

где обозначает тангенс, а  — коэффициент наклона касательной. Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

Касательная как предельное положение секущей

Пусть и Тогда прямая линия, проходящая через точки и задаётся уравнением

Эта прямая проходит через точку для любого и её угол наклона удовлетворяет уравнению

В силу существования производной функции в точке переходя к пределу при получаем, что существует предел

а в силу непрерывности арктангенса и предельный угол

Прямая, проходящая через точку и имеющая предельный угол наклона, удовлетворяющий задаётся уравнением касательной:

Касательная к окружности

Прямая, имеющая одну общую точку с окружностью и лежащая с ней в одной плоскости, называется касательной к окружности.

Свойства

1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.
2. Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
3. Длина отрезка касательной, проведённой к окружности единичного радиуса, взятого между точкой касания и точкой пересечения касательной с радиусом, является тангенсом угла между этим радиусом и направлением от центра окружности на точку касания. «Тангенс» от лат. tangens — «касательная».

Вариации и обобщения

Односторонние полукасательные

• Если существует правая производная то пра́вой полукаса́тельной к графику функции в точке называется луч

• Если существует левая производная то ле́вой полукаса́тельной к графику функции в точке называется луч

• Если существует бесконечная правая производная то правой полукасательной к графику функции в точке называется луч

• Если существует бесконечная левая производная то правой полукасательной к графику функции в точке называется луч

См. также

• Дифференцируемая функция
• Касательное пространство
• Нормаль, бинормаль
• Теорема о секущих

Литература

• Касательная // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.