Задача трех узников - парадокс теории вероятностей, имеющий общую природу с парадоксом Монти Холла. Этот парадокс впервые опубликовал Мартин Гарднер в 1959 году.
Содержание |
Трое заключенных, A, B и С заключены в одиночные камеры и приговорены к смертной казни. Губернатор случайным образом выбирает одного из них и помилует его. Стражник, охраняющий заключенных, знает, кто помилован, но не имеет права сказать этого. Заключенный A просит стражника сказать ему имя того (другого) заключенного кто точно будет казнен: "если B помилован, скажи мне, что казнен будет C. Если помилован C, скажи мне, что казнен будет B. Если они оба будут казнены, а помилован я, подбрось монету, и скажи любое имя"
Стражник говорит заключенному A, что заключенный B будет казнен. Заключенный A рад это слышать, поскольку он считает, что теперь вероятность его выживания стала 1/2, а не 1/3 как была до этого. Заключенный A тайно говорит заключенному С, что B будет казнен. Заключенный С также рад это слышать, поскольку он все еще полагает, что вероятность выживания заключенного А - 1/3, а его вероятность его выживания возросла до 2/3. Как такое может быть?
Ответ заключается в том, что заключенный A не получил информацию о своей собственной судьбе. Заключенный A до того как спросить стражника оценивает свои шансы как 1/3, так же как B и C. Когда стражник говорит, что B будет казнен, это все равно, что вероятность того, что С помилован (вероятность 1/3) или A помилован (вероятность 1/3) и монета, выбиравшая между B и C, выбрала B. (Вероятность - 1/2; в целом вероятность того, что назван B - 1/6? поскольку A помилован). Поэтому, узнав, что B будет казнен, Оценка заключенным A шансов на помилование такова: его шансы теперь - 1/3, но теперь, зная, что B точно будет казнен, шансы С на помилование теперь 2/3
Обозначим и как события, означающие, что соответствующий заключенный будет помилован, и событие, означающее, что заключенный B тот, кто будет казнен, тогда, используя теорему Байеса вероятность помилования заключенного A:
Заключенный A имеет шансы на помилование 1/3. Знание того, кто из B и C будет казнен не меняет этого шанса. После того как заключенный А узнает, что B будет казнен, он осознает, что если он сам не помилован, то шанс того, что C будет помилован теперь 2/3
Также как с проблемой Монти Холла, здесь будет полезно посмотреть на эту проблему с разных точек зрения.
Могут возникнуть следующие случаи:
С оговоркой, что в ситуации когда А помилован(вероятность такой ситуации 1/3) стражник случайно выбирает имя казненного, получается шанс 1/2, что он скажет "B" и 1/2 что он скажет "C". Это означает что вероятности: 1/6 в то время как (1/3 [А действительно помилован] * 1/2 [стражник называет B]), стражник называет B, потому что A помилован, и (1/3 [А действительно помилован] * 1/2 [стражник называет C]) стражник называет C, потому что A помилован. Всего это составляет 1/3 от всех случаев (1/6 + 1/6) когда А помилован.
Теперь ясно, что когда стражник отвечает "Казнен будет B"? на вопрос заключенного А это 1 случай из 4, что происходит в 1/2 от всех случаев, 1/3 - вероятность того, что С помилован. но A все равно будет казнен (случай 4), и только 1/6 - вероятность того, что A помилован (случай 1). Следовательно, шансы С: (1/3)/(1/2)=2/3, шансы A: (1/6)/(1/2)=1/3.
Основной загвоздкой здесь является то, что стражник не может говорить имя того, кто будет помилован. если исключить это условие, исходную задачу можно переформулировать так: заключенный просит стражника сказать ему судьбу одного из двух заключенных B и С, не уточняя, кто будет казнен. В этом случает, стражник подбрасывает монету, чтобы выбрать между B и С,и затем говорит судьбу одного из них. При такой формулировке возможны следующие случаи.
Все исходы имеют равную вероятность - 1/6. Итак: стражник в этой ситуации все равно выбирает из 6 случаев, и он все еще не может раскрыть карты, и сказать кто же помилован. Таким образом, в 1/6 случаев, а именно в случае 3, стражник не может сказать, что И помилован, поэтому он скажет "C" (что в общем-то будет правдой, ведь если помилован B, заключенные A и C будут казнены). Также и в случае 6, когда помилован C, но стражник, не имеющий права этого говорить, назовет одного из тех кто будет казнен - он назовет заключенному А имя заключенного B. Это делает вероятность случает 4 и 5 до 1/3, что приводит нас к изначальным результатам.
Люди думают, что вероятность 1/2, потому что они игнорируют суть вопроса который заключенный A задает стражнику. Если бы стражник мог ответить на вопрос "Будет ли заключенный B казнен?", тогда, в случае положительного ответа, вероятность казни А действительно бы уменьшалась с 2/3 до 1/2.
То ограничение, которое есть в оригинальной задаче трех узников, делает вопрос заключенного A бесполезным, ведь со 100% вероятностью будут казнены два заключенных, то есть, даже если А помилован - ему назовут любое имя, если а приговорен к казни, то, значит, с ним вместе будет казнен еще один заключенный, его имя и назовут заключенному А.
Получается, заключенный А своим вопросом просто узнает тот факт, что один из заключенных B и С будет казнен, что и так ясно из условий задачи.
| Это заготовка статьи по теории вероятностей. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её. |
Задача трёх узников.