Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид

,

где  — биномиальные коэффициенты,  — неотрицательное целое число.

В таком виде эта формула была известна ещё индийским и исламским математикам; Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени — произвольное рациональное число (возможно, отрицательное). В этом случае бином представляет собой бесконечный ряд (см. ниже).

Доказательство

Докажем это равенство индукцией по n:

База индукции:

Шаг индукции: Пусть утверждение для верно:

Тогда надо доказать утверждение для :

Начнём доказательство:

Извлечём из первой суммы слагаемое при

Извлечём из второй суммы слагаемое при

Теперь сложим преобразованные суммы:

Что и требовалось доказать

Комментарий:

 — одно из тождеств биномиальных коэффициентов

Обобщения

Формула бинома Ньютона является частным случаем разложения функции в ряд Тейлора:

где r может быть комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты этого разложения находятся по формуле:

При этом ряд

.

сходится при .

В частности, при и получается тождество

Переходя к пределу при и используя второй замечательный предел , выводим тождество

которое именно таким образом было впервые получено Эйлером.

Мультиномиальная теорема

Бином Ньютона может быть обобщен до полинома Ньютона — возведения в степень суммы произвольного числа слагаемых:

где — мультиномиальные коэффициенты. Сумма берется по всем неотрицательным целым индексам , сумма которых равна n. При использовании полинома Ньютона, считается, что выражения , даже в случае .

Мультиномиальная теорема легко доказывается либо по индукции по m, либо из комбинаторных соображений и комбинаторного смысла мультиномиального коэффициента.

При , выражая через , получаем бином Ньютона.

Биномиальные многочлены ^{[источник не указан 723 дня]}

Семейство многочленов G называется биномиальным, если оно представляется в виде суммы произведений набора множителей g:

где

≠0.

Биномиальные многочлены обладают биномиальным разложением:

Биномиальная группа ^{[источник не указан 723 дня]}

Группа из одномерных матриц с нулевым элементом заданной на нём операцией ,

где

Единицей группы является , нулём — Обратный элемент

где

История

Долгое время считалось, что для натуральных показателей степени эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в XVII веке. Однако историки науки обнаружили, что формула была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю, жившему в XIII веке, а также исламским математикам ат-Туси (XIII век) и ал-Каши (XV век).

Исаак Ньютон около 1676 года обобщил формулу для произвольного показателя степени (дробного, отрицательного и др.). Из биномиального разложения Ньютон, а позднее и Эйлер, выводили всю теорию бесконечных рядов.

В художественной литературе

В художественной литературе «бином Ньютона» появляется в нескольких запоминающихся контекстах, где речь идёт о чём-либо сложном.^[1]

• В рассказе А. Конан Дойля «Последнее дело Холмса» Холмс говорит о математике профессоре Мориарти:

Когда ему исполнился двадцать один год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность. После этого он получил кафедру математики в одном из наших провинциальных университетов, и, по всей вероятности, его ожидала блестящая будущность.

Оригинальный текст  (англ.)  

The Final Problem

At the age of twenty-one he wrote a treatise upon the binomial theorem, which has had a European vogue. On the strength of it he won the mathematical chair at one of our smaller universities, and had, to all appearances, a most brilliant career before him.

• Знаменита цитата из «Мастера и Маргариты» М. А. Булгакова: «Подумаешь, бином Ньютона!». Позже это же выражение упомянуто в фильме «Сталкер» А. А. Тарковского.
• Бином Ньютона упоминается:
  • в фильме «Расписание на послезавтра»;
  • в повести Льва Толстого «Юность» в эпизоде сдачи вступительных экзаменов в университет Николаем Иртеньевым;
  • в романе Е.И.Замятина «Мы».

Примечания